Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
0 0 _-со
oo a to
= jj ["5 (* - cos tx)dt]dF(x)= J (i -^^dF (x)^
-со 0 -со
&,:>,(1-Jir)' \ \ dF^-
| ax] ^ 1 1*13=1 /0
" inf (l-ii^Ul-sinl^j,
к \y\>A у ' 7
где
так что (4) справедливо с константой К = 7. Лемма доказана.
Доказательство утверждения 2) теоремы 1. Пусть ф"(/)-> ->-ф(/), п ->¦ со,
где функция ф (/) непрерывна в нуле. Покажем, что отсюда следует
плотность семейства вероятностных мер {Р"}, где Р" - мера,
соответствующая функции распределения F".
ГЛ 1ГГ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
В силу (4> и теоремы о мажорируемой сходимости
а
т)}" $ dF"(x)^?$[l-Re<p"(t)]dt-+.
1*1 0
а
J [1 _ Re Ф (0]^
о
при п ->¦ оо.
Поскольку по предположению функция ср (/) непрерывна в нуле
и ф (0) = 1, то для всякого е>0 можно найти такое 0, что
дл я всех п 1
Р"М-МЖ'-
Следовательно, семейство {РД плотно, и в силу леммы 2 сущест-
вует вероятностная мера Р такая, что
Р"-- Р.
О гсюда
со со
Ф*(0 = 5 eitxPn(dx)-+ \ eitxP (dx),
-СО -со
и в то же самое время <рл(0->ф(0- Поэтому ц>(() является
характеристической функцией вероятностной меры Р.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть \F"] - последовательность функций распределения и {фД -
соответствующая последовательность характеристических функций Пусть,
кроме того, F-функция распределения, ф -ее характеристическая функция.
Тогда Fn^F, если и только если q>" (/) ->- ср (/) для всех t е R.
Замечание. Пусть г], rjj, ... - случайные величины и F^JtF^. В
соответствии с определением § 10 гл. II тогда говорят, что случайные
величины qlf г|2, ... сходятся по распределению к тр и записывают это в
виде tj" т]. Эта запись наглядна, и поэтому часто в формулировках
предельных теорем ее предпочитают записи Fn"-/V
3. В следующем параграфе теорема 1 будет применена для доказательства
центральной предельной теоремы для независимых разнораспределенных
случайных величин. Доказательство будет вестись при выполнении так
называемого "условия Линдеберга". Затем будет показано, что "условие
Ляпунова" обеспечивает выполнение "условия Линдеберга". Сейчас же мы
остановимся на применении метода характеристических функций к
доказательству некоторых простых предельных теорем.
§ 3 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
84?
Теорема 2 (закон больших чисел). Пусть Ii, tn >ч-последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин с MI^ICco, S" = h
+ +1л " М|х =/п. Тогда
~ т, т. е. для всякого е > О
Р| ~- - т п ->¦ оо.
А
Доказательство. Пусть ф (t) = Ме'^' и ф sn (0 = Me п •
П
Тогда в силу независимости случайных величин и формулы (II. 12.6)
¦ч(,)=[ф (-?)]"•
п
Но согласно (II. 12.14)
Ф (t) = 1 + itm-\-o (t), t ->¦ 0.
Значит, для всякого фиксированного t^R
(р(1)=1+г'4-т+°(д)' п^°°'
и поэтому
Tsn (0 = [1+/"т + °(д)] ¦
oitm
Функция ф(^) = е'7т непрерывна в нуле и является характеристической
функцией вырожденного распределения вероятностей, сосредоточенного в
точке т. Поэтому
т,
п
значит (см. задачу 7 в § 10 гл. II),
Sn Р
-SLS^m.
п
Теорема доказана.
Теорема 3 (центральная предельная теорема для независимых одинаково
распределенных случайных величин). Пусть tn ...- последовательность
независимых одинаково распределенных (невырожденных) случайных величин с
M?i<co и 5л = ?х + *
Тогда при п-+ со
Р{^|^*}^Ф{х), (5)
348
где
гл. ш. сходимость вероятностных МЕР
Ф|
w=уш S '~'Vdu-
Доказательство. Пусть = D^ = a2 и ф(/) = Ме"
Тогда, если обозначить
(7-
S" - MS_
то получим, что
Но в силу (II. 12.14)
Ф" (/) = Me Фя (0 =
|ф
ср (0 = 1 ~^ + о(П,
¦ СО
Поэтому для любого фиксированного t и п ¦
Функция е-^2/2 является характеристической функцией нормально
распределенной случайной величины (обозначим ее (0, D) с нулевым средним
и единичной дисперсией, что в силу теоремы 1 и доказывает требуемое
утверждение (5). В соответствии с замечанием к теореме I это утверждение
записывают также в следующем виде:
Y^r(0, 1). (6)
Теорема доказана.
Пр едыдущие две теоремы относились к асимптотическому пове-' дению
вероятностей (нормированных и центрированных) сумм 5" = Н1+. .. + ?л
независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако, чтобы
сформулировать теорему Пуассона (§6 гл. I) приходится привлекать к
рассмотрению более общую модель, называемую схемой серий случайных
величин.
Именно, будем предполагать, что для каждого п 5= 1 задана
последовательность независимых случайных величин %пл, ..., \п,п-Иначе
говоря, пусть задана треугольная таблица
'бы 6-2.1. 6-2.2 5з, 1> бз,2> бз.З
§ 3 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 349
слу^йных величин, которые в каждой строчке независимы между собой.
Положим S" = g",! + л-
Теорема 4 (теорема Пуассона). Пусть при каждом и1 независимые одинаково
распределенные случайные величины ?"л, ... таковы, что
Р (?",*= 1) = рп, Р(?я,* = 0) = 9я, где p" + q"= 1 и pn->0 /яак, что пр0,
со. Тогда
Р (S" = m) -> -т - 0, 1, ... (7)
Доказательство. Поскольку для l^&sga Me +
то
Фдл (0 - = (pnelt + qn)n =
== (1 +рп (eii- 1))я_> ехР (eit- О}" п-*- со.
Функция ср (/) = ехр {Я (еи - 1)} является характеристической функцией
