Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
32
Гл. 2. Уравнения движения
зоваться тем, что
о) = (grad v)x — Ох = 2 (^23* ^31» ^12)*
Легко видеть, что вектор (Q23, 2зі* ^12) X г равен г • Qp.] Векторная запись (11.6) последнего члена, г • Ор, показывает, что этот член характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью 1/2 <ор.
Сопоставляя полученные выше результаты, мы приходим к следующему истолкованию соотношения (11.4). Для произвольного движения поле скоростей v вблизи данной точки Р с точностью до бесконечно малых второго порядка имеет вид
v = Vp + gradl ?)-fi<0p X Г, (11.7)
де D = г • D • г = const определяет эллипсоид деформации, а со = rot v — вектор завихренности. Таким образом, любое мгновенное состояние движения сплошной среды является в каждой точке суперпозицией поступательного движения, растяжения по трем взаимно ортогональным осям и вращения этих осей как твердого тела1). Угловая скорость указанного вращения равна 1/2 сор. Сформулированное предложение позволяет утверждать, что (о представляет собой мгновенную скорость вращения жидкости в данной точке.
Если в данной точке D = 0, то из формулы (11.7) следует, что движение локально представляет собой мгновенное вращение; если же D = k\, то движение является суперпозицией чистого растяжения и вращения. Эти результаты служат подтверждением предложений, высказанных выше. С другой стороны, если в конечном объеме ЖИДКОСТИ *0 = Q=0, то относительное движение любого элемента этого объема является чистой деформацией и называется безвихревым. В этом случае можно показать, что поле является потенциальным, т. е. представляет собой градиент некоторого потенциала (v = gradcp); см. [48], стр. 101.
*) Cauchy A. L., Ex. d’Anal. Phys. Math., 2 (1841), Oeuvres (2), 12, стр. 343—377; Stokes О., Trans. Cambridge Phil. Soc., 8 (1845), Papers 1, стр. 75—129.
12. Уравнения движения в криволинейных координатах 33
§ 3. Преобразование координат
12. Уравнения движения в криволинейных координатах. Мы хотим получить здесь уравнения неразрывности и движения в произвольной криволинейной системе координат. Для этой цели удобно воспользоваться методами элементарного тензорного анализа; читатель, незнакомый с тензорным анализом, может обратиться к работ‘е [47], где дано ясное изложение этого предмета *), или может пропустить весь этот раздел без значительного ущерба для понимания остальной части статьи. Обозначим через (х1, х2, х3) координаты точки в произвольной криволинейной системе координат. Мы, как и раньше, положим х^^1, х2, х3), однако х здесь нельзя рассматривать как вектор. Движение по-прежнему выражается уравнениями в форме (3.1), которые дают нам положение частицы в момент t\ в цилиндрической системе координат, например, движение задается при помощи уравнений
r = X(X,t), 0 = ср(Х, *), * = ф(Х, t).
Ясно, что производные dxljdt от функций (3.1) являются контравариантными компонентами вектора, так что определение вектора скорости vl = dxl/dt сохраняет смысл. Для определения материальной производной от произвольной скалярной, векторной или тензорной функции F мы воспользуемся формулой
^F____ dF | і р /19 1'і
-#Г==-ЗГ + ®/^* (12Л)
где символ F( обозначает ковариантную производную от F по переменной Xі. Нетрудно проверить, что так определенная материальная производная является тензором и что данное определение согласуется с введенным ранее определением (3.6). Следует отметить, что величина dF(X, t)/dt в общем случае уже не является тензором, и, следовательно, определение, введенное в п. 3, в общем случае неприменимо. Для того чтобы получить корректную формулу для материальной производной в переменных Лагранжа, можно по-
*) См. также Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд. АН СССР, М., 1951, стр. 138. —Прим.
перев.
3 Зак. 1160
34
Гл. 2. Уравнения движения
ступить следующим образом. Запишем ковариантную производную в виде
F =— 4-Л *' дх‘ + 1’
где At — хорошо известные выражения, включающие в себя символы Кристоффеля. Подставив это выражение в формулу (12.1), мы получим требуемую формулу:
IF dF - і I dF , Л\ dF , t л , і n і /\
¦+®Ът: + А + (12.10
bt dt * \ dxt ‘ lJ dt
Формула (12.1') встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между bF/bt и dF/dt. Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают,
bF/bt = dF/dt\ другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной dF/dt приводит к операции bF/bt. Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12.1'), а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями; определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ v будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контра-вариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде *F dF - , „
