Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 4

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 82 >> Следующая

Хотя течение полностью определяется преобразованием (3.1), столь же важно рассмотреть состояние движения в данной точке пространства, изменяющееся во времени. Оно описывается при помощи функций
Р = Р(Х, f), v = v (х, t) и т. д., (3.3)
которые дают нам значение плотности, скорости и т. д. для частицы, находящейся в момент t в точке х. Значение описания поля (3.3) при изучении движения жидкости было отмечено впервые Даламбером (1749 г.) и Эйлером (1752 г.). Замечательная идея изучения движения непосредственно через дифференциальные уравнения с частными производными относительно величин (3.3) принадлежит Эйлеру2).
Переменные (х, t), введенные при рассмотрении поля (3.3), будут в дальнейшем называться пространственными (их называют также переменными Эйлера); переменные (X, t)9
*) Греческие буквы будут использоваться в качестве индексов координат частицы.
2) Работы Эйлера по механике жидкости содержатся в основном в 12 и 13 томах его собрания сочинений (Opera Omnia, Zurich). Введения к этим томам, написанные проф. Трусделлом содержат исторический обзор исследований по механике жидкости того времени. Сравнение работ предшественников Эйлера с работами его учеников и последователей позволяет более ясно представить значение идей Эйлера для развития механики жидкости в целом.
14
Гл. 2. Уравнения движения
которые выделяют некоторую фиксированную частицу, мы б}гдем называть переменными Лагранжа1).
Любую величину F, заданную как функцию пространственных переменных (х, t), можно рассматривать также и как функцию переменных Лагранжа (X, t), и наоборот. Если мы хотим подчеркнуть зависимость F от определенных переменных, то мы пишем F = F (х, t) или F = F (X, t)\ при этом функции F (х, t) и F (X, t) связаны, конечно, заменой переменных (3.1) и (3.2). Геометрически эти функции можно интерпретировать так: F(X, t) есть величина F, определенная в момент времени t для частицы, которая находилась первоначально в точке X, a F (х, t) есть величина F, определенная для частицы, находящейся в момент t в положении х. Мы будем употреблять обозначения
dF _ dF (х, t) dF _ dF (X, t)
dt dt И dt — dt
для двух возможных производных по времени от F\ очевидно, что это совершенно разные величины. Производная dF/dt называется материальной производной от F. Она измеряет скорость изменения величины F для выбранной частицы и может быть выражена как в переменных Лагранжа, так и в пространственных переменных. С другой стороны, dF/dt дает скорость изменения величины F для наблюдателя, находящегося в точке х.
Скорость v частицы определяется следующим образом:
v=^L U—dxi - <У(Х, *)\ v — 'dt V — dt — dt )'
В силу этого определения скорость v является функцией переменных Лагранжа; на практике, однако, чаще имеют дело с ее определением в пространственных переменных:
V = v (х, t).
В большинстве задач важно знать v(x, t), а не действительное движение (3.1).
Мы ввели поле скоростей при помощи движения, заданного соотношениями (3.1). При рассмотрении поля скоростей v(x, f)t заданного независимо от соотношений (3.1), есте-
*) Установившаяся терминология является не вполне правильной, так как на самом деле и те и другие переменные были введены впервые Эйлером; см. [27], § 14.
3. Основные понятия кинематики
15
ственно возникает вопрос о существовании и нахождении движения с этим полем скоростей. Задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4r = v(x. t) (3.4)
при начальных условиях х (0) = X. Интегрирование уравнения (3.4) должно быть выполнено „в целом" и, следовательно, не всегда представляет простую задачу 1).
Ускорение есть скорость изменения v(X, t) для движущейся частицы. Обозначив вектор ускорения через а, мы получим & = dv/dt. Заметим, что ускорение можно найти непосредственно по полю скоростей v(x, t):
і dvl ___ dvl , dvl dxJ
dt dt dxi dt
или
d\
a — -5P+-V • grad v. (3.5)
Равенство (3.5) является частным случаем общей формулы
(3-6)
связывающей материальную производную с пространственной. Выражение (3.6) можно интерпретировать для произвольной величины F — F (х, t) как скорость изменения F во времени для наблюдателя, движущегося с частицей, которая в момент t находится в точке х.
Якобиан преобразования (3.1)
д (*», х\ *«) _ . ( дх1 \
д (Xі, Хг, X3) — 1 \ дХ« )
дает величину относительного расширения бесконечно малого объема, движущегося с жидкостью. Из предположения
о существовании дифференцируемого обратного преобразования следует, что
0 < У < оо. (3.7)
В работе [10], § 9.21, приведен интересный пример интегрирования уравнения (3.4), принадлежащий Максвеллу [Proc. Load. Math. Soc., З, 82 (1870)]. Другие примеры можно найти в работах [10], § 9.71 и [8], § 72, 159. Общая задача интегрирования рассматривалась Лихтенштейном [9], стр. 159—170.
16
Гл. 2. У равнения движения
Впоследствии мы будем пользоваться изящной формулой
— Wdivv, (3.8)
принадлежащей Эйлеру. Для ее вывода обозначим через Л} алгебраическое дополнение в J элемента дх1/дХа. Тогда из соотношения
дхі Аа гь*
Ш А> = Jbi
следует, что
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed