Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-^-(2 + U) = (j)t- vda — fj.Ddv.
10. Уравнение переноса количества движения. Принцип сохранения количества движения (6.1) позволяет определить скорость изменения количества движения в фиксированном объеме Ь, равную
pvdv = j pf dv-\- (j) (t —pvv • n)da. (10.1)
и и g
Для вывода этого отношения достаточно применить к уравнению (6.1) формулу (4.2). -Исходя из физического смысла
последнего члена (10.1), это соотношение называют уравнением переноса количества движения. Формулировки
(6.1) и (10.1) закона сохранения количества движения являются равносильными, и иногда за основу берут второе из этих уравнений.
10. Уравнение переноса количества движения
29
Уравнение переноса количества движения часто используют для того, чтобы найти силу, действующую на тело в установившемся течении. Проиллюстрируем этот метод одним примером. Предположим, что жидкость занимает все пространство вне некоторого тела и что внешние силы отсутствуют. Тогда, обозначив через § поверхность тела, а через Е—„контрольную" поверхн<эсть, охватывающую #, мы получим для силы F, действующей на тело, следующее выражение:
(заметим, что у*п = 0 на $).
Аналогичным образом, используя уравнение (7.2), нетрудно найти для момента L сил, действующих на поверхность, выражение
Другого рода формула для силы, действующей на тело, получается при помощи уравнения энергии (9.1). Рассмотрим твердое тело, движущееся прямолинейно со скоростью U в жидкости, которая предполагается ограниченной неподвижными стенками. Если область течения обозначить через 93, внешнюю границу этой области — через 8 и поверхность движущегося тела — через $0, то
(в случае невязкой жидкости это равенство следует из граничного условия v • п = U • п, а в случае вязкой жидкости — из предположения v = U на §0), Воспользовавшись теперь уравнением (9.1), мы получим формулу
которая дает величину проекции F на направление движения. (Формулу (10.4) можно обобщить на случай неограниченной области течения; нужно только наложить определенные требования на поведение течения на бесконечности.
(10.3)
зо
Гл. 2. Уравнения движения
Более подробное изложение приложений принципа сохранения количества движения можно найти в книге [26], стр. 203—204, и в книге [12].)
11. Кинематика деформации. Вектор завихренности.
Рассуждения этого раздела основаны на простом представлении тензора grad v:
gradv — D-f-Q, (11.1)
где
DU = j К j+vj, ,). = у (Vj, і — vit j).
Тензоры D и і! являются соответственно симметрической и кососимметрической частью grad v. Изложение будет удобно разбить на две части.
1. Тензор деформации. Обозначим через dx жидкий элемент дуги. Скорость изменения этого элемента при движении жидкости выражается формулой
* (dxi) dX*\ = ахі>
d* dt I dX* j дХ* dx1
или, в векторной форме,
(dx) = dx • grad v. (11-2)
Из уравнения (11.2) следует, что
(ds2) — 2dx-D-dx,
где ds = J dx J. Таким образом, тензор D представляет собой меру скорости изменения квадрата элемента дуги, движущейся вместе с жидкостью. Если жидкость движется как твердое тело, то ds === const, поэтому необходимым и достаточным условием того, чтобы в данный момент времени жидкость локально двигалась как твердое тело, является условие D = 0. Исходя из этих соображений, D называют тензором деформации. Тензор D — !/з (Sptir D) I также представляет интерес; равенство этого тензора нулю является необходимым и достаточным условием сохранения углов (в данной точке в данный момент времени).
11. Кинематика деформации. Вектор завихренности 31
Если D = 0, то жидкость движется как твердое тело и
v = у to X г -j- const. (П-З)
Величина а) здесь не зависит от г и равна удвоенной угловой скорости вращательного движения. Аналитически соотношение (11.3) является следствием системы уравнений первого порядка с частными производными D == 0 и легко получается из первых интегралов этой системы.
2. Общий случай движения жидкости. Рассмотрим поле скоростей в окрестности некоторой фиксированной точки Р. Если понимать под Fp значение величины F в точке Р, то для точек, близких к Р,
V = Vp + г • (grad \)р + О (г2);
здесь через г обозначен радиус-вектор, отложенный из точки Р. Если пренебречь членами порядка г2 и воспользоваться представлением (11.1), то мы получим
v = vр —(— г • Dp+r йр. (11.4)
Выясним теперь смысл отдельных членов этой формулы.
Первый член представляет поступательное движение с постоянной скоростью vp. Положив D — r- Dp T, мы можем записать второй член в виде
grad y (П.5)
Поле скоростей, соответствующее этому члену, в каждой точке ортогонально поверхности эллипсоида D — const, проходящей через эту точку. В этом поле скоростей есть три взаимно перпендикулярных направления — главные оси деформации, не участвующие в мгновенном вращательном движении (соответствующем этому полю скоростей). Главные значения тензора D равны скоростям относительного удлинения жидких элементов в этих направлениях.
Последний член формулы (11.4) можно записать в виде
|мРХг, (11.6)
где о) = rot v представляет собой вектор завихренности. [Для доказательства формулы (11.6) проще всего восполь-
