Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 16

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая

v • grad v= (о X v-)-grad q1. (17.1)
Применив оператор rot к обеим частям уравнения (3.5), мы в силу равенства (17.1) получим
rot а = 4^- rot (to X v) = “ — о) • grad v + о> div v.
Из этого уравнения и уравнения (5.3) следует уравнение диффузии Бельтрами 2), а именно уравнение
w(j) = j -gfadv+yrota. <17-2)
^Beltrami Е., Мет. Лее. Sci. Bologna (1371—1873); Ореге,
2, стр. 202—379, в особенности § 6.
для осесимметричного движения.
4*
52 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Применим теперь этот результат к баротропному течению идеальной жидкости. В этом случае в силу формулы (16.5) rot а = 0, так что уравнение (17.2) принимает следующий вид:
i(7)=7‘gr3dv- (17'3)
Это изящное уравнение *) описывает конвекцию завихренности при баротропном движении. Интересно, что уравнение (17.3), рассматриваемое как дифференциальное уравнение относительно (О, допускает точное интегрирование. Действительно, введем новую неизвестную с, определяемую равенством2)
(о = рс • Grad х. (17.4)
Эта замена переменных корректна, так как J= ( Gradx | =? 0. Тогда, как показывают простые вычисления,
-§ = 0, с = с(Х).
Подставляя в формулу (17.4) t~ 0, получаем со0 = р0с и, следовательно,
^=_^. Gradx. (17.5)
Р Ро '
Этот замечательный результат был получен, правда, из* совсем других соображений, Коши3) в 1815 г.
Отметим три важных следствия уравнения (17.5).
1. Сохраняемость вихревых линий. Это означает просто, что множество частиц, образующее вихревую линию в некоторый момент времени, при преобразовании х = ^(Х, t) переходит в множество, являющееся вихревой линией во все последующие моменты времени. Для доказательства этого удивительного факта достаточно показать, что направление dx, касательное к вихревой линии в некоторый момент времени, перемещается вместе с жидкостью таким образом, что во все
1) Оно принадлежит Нансону [Nanson Е., Mess. Math., З, 120 (1874)]. В несколько иной форме этот результат был получен Эйлером [Euler L., Novi Comm. Acad. Sci. Petrop. (1762); Opera Omnia (2) 12, стр. 133—168]. В частном случае постоянной плотности уравнение (17.3) обычно называют уравнением Гельмгольца.
2) В следующем далее равенстве Gr ad х = дх*/дХ1-
3) Cauchy A.-L., Mem. Divers Savants (2), 1; Oeuvres (1),
1, стр. 5—318, в особенности ч. 1, § 4/
17. Конвекция завихренности
53
время движения остается касательным к вихревой линии. Так как при t = 0 dx — dX == taQdx, то в любой другой момент времени
dx = dX- Gradx —(О0 • Grad х di = -у- о) dx, (17.6)
и мы действительно получаем, что вектор dx направлен по касательной к вихревой линии. Кстати, уравнение (17.6) показывает, что длина элемента дуги ds вихревой линии изменяется в соответствии с формулой
±ds = -^dsa. (17.7)
оо оо0 и
Исследование вихревых линий будет продолжено в п. 25,
2. Теорема Лагранжа — Коши1). Если частица жидкости или некоторый объем жидкости находились первоначально в безвихревом движении, то это свойство сохранится во все время движения. Это утверждение является очевидным следствием формулы Коши (17.5).
3. В случае плоского движения мы имеем
С\ dv dtl /17 Q\
«Вх=<Оу = 0. WZ~W=-^; — jy. (17.8)
Таким образом, вектор w направлен по нормали к плоскости течения и о) • gr.ad v = 0. Из уравнения (17.3) следует, что для фиксированной частицы жидкости со/р == const; этот факт наглядно иллюстрирует следствия 1 и 2, сформулированные выше. Аналогично для осесимметричного течения
«, = «, = 0. = (17.9)
(см. п. 12). Из уравнения (17.7) следует, что для фиксированной частицы жидкости со/ур = const. Этот результат можно
*) L, a grange J. L., Nouv. Mem. Acad. Berlin (1781); Oeuvres,
4, стр. 695—'748. При формулировке и доказательстве теоремы Лагранж допустил некоторые неточности. Корректное доказательство теоремы принадлежит Коши, см. примечание выше. Заметим, что теорема Лагранжа—Коши основана на предположении о непрерывности движения в смысле определения, данного в п. 3. Безвихревое течение может стать вихревым после прохождения ударной волны (см, п. 54), но остается безвихревым при переходе через поверхность слабого разрыва (см. п. 51).
54 Гл. З. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
было бы получить, исходя, как и в случае плоского течения, из уравнения (17.3), однако вывод был бы не столь прост.
18. Теоремы Бернулли. Уравнением Бернулли обычно называют один из первых интегралов уравнений движения!). В зависимости от частных динамических или кинематических предположений относительно характера движения это уравнение принимает различные формы, однако во всех случаях основную роль играет величина
Мы рассмотрим в этом пункте различные формы уравнения Бернулли в случае баротропного течения идеальной жидкости.
Воспользовавшись формулой (17.1), мы можем записать основное уравнение (16.5) в виде
-)- ft) X V == — grad Я. (18.1)
Предположим теперь, что течение установившееся; тогда, как легко видеть из уравнения (18.1), справедливо следующее утверждение.
Теорема Бернулли. Если в области установившегося баротропного течения идеальной жидкости (о X v == 0, то
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed