Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ь f pFdv = f pbF dv. (14.6)
Условие (14.5) является также следствием следующих предположений: а) каждое движение, полученное в результате
вариации, удовлетворяет уравнению неразрывности и б) виртуальные перемещения равны нулю в некоторый фиксированный момент времени. Если умножить обе части соотношения (14.4) на р и проинтегрировать по объему 23, движущемуся с жидкостью, то применение формул (5.7) и (14.6) приводит к уравнению
J pa -bxdv = -^ Jpv-bxdv — 8?, (14.?)
ЗД 95
где Z обозначает кинетическую энергию, т. е.
z = ?q2dv.
as
42
Г л. 2. Уравнения движения
Наконец, в силу принципа Даламбера — Лагранжа уравнение
(14.7) можно записать в виде
&?-|-8ЭД — J pv • 8х dv = 0. (14.8)
ъ
Это уравнение справедливо в том случае, когда полученное в результате вариации движение удовлетворяет уравнению неразрывности (14.5) и согласовано с внешними связями, наложенными на рассматриваемое движение. Проинтегрировав уравнение (14.8) по t от t0 до tx и предположив, что 8х = 0 при t = t0 и t = tv мы получим так называемый принцип Гамильтона1): tl
j (bZ-\-b%)dt = 0, и
справедливый для любого полученного в результате вариации движения, удовлетворяющего условию неразрывности, внешним связям и условию 8х = 0 при t = tQ и t = tx2).
15. Идеальные жидкости. Для идеальной несжимаемой жидкости принцип Даламбера—Лагранжа можно сформулировать в более изящной форме, а именно идеальная несжимаемая жидкость движется таким образом, что
ьпе— fa • bxdv = 0 (15.1)
as
для всех виртуальных перемещений 8х, сохраняющих объем, или, другими словами, удовлетворяющих условию divBx — 0. Виртуальная работа 8^ определяется здесь, как и раньше, формулой (14.1).
В соответствии с теорией множителей Лагранжа уравнение (15Л) эквивалентно следующему:
J [р (а — f) • 8х — X div 8х] dv — ? t • 8х da = 0,
58 <?
1) См. Н е 11 і n ge г Е., Enc. Math. Wiss., 44, примечание 61.
2) Среди других вариационных принципов наибольший интерес представляет принцип наименьшего времени (Н е 11 і n g е г, § 5с) и энергетический принцип [Herivel J. W., Proc. Roy. Irish.
Acad,., 56, 37, 67 (1954)]. См. также статью ГОльдера [Holder Е.,
Вег. siichs. Acad. Wiss. (Lpz), Math.-phys. Kl., 97 (1950)].
15. Идеальные жидкости
43
где X— множитель Лагранжа, а на 8х уже не наложено никаких условий. Интегрируя это соотношение по частям, получаем
pa = pf — grad X и t = — Xn. (15.2)
Величина X, таким образом, играет роль „давления" и является одной из основных неизвестных задачи. Уравнения (15.2) вместе с условием неразрывности образуют четыре уравнения с четырьмя неизвестными: v и X.
Лагранж считал, что уравнение (15.2) справедливо и в общем случае сжимаемой идеальной жидкости, если в этом уравнении рассматривать X как „силу реакции" при изменении объема*). Этот метод расширения области применения уравнения, полученного в частном случае введением — посредством множителя Лагранжа — новых „сил реакции", Гамель назвал „принципом высвобождения" Лагранжа. Указанные рассуждения, хотя и приводят к правильному результату, довольно неубедительны; трудности станут очевидными, если рассмотреть сжимаемый газ, для которого давление является термодинамической переменной.
Если воспользоваться соотношением (14.5), то вариационный принцип (15.1) можно записать в форме принципа Гамильтона: при движении идеальной несжимаемой жидкости
к
J (8г + щ,)<й = о
U
для вариаций движения 8х, удовлетворяющих условиям div8x = 0; 8х — 0 при t = tQ и t—tv
Аналогичный вариационный принцип был установлен Лихтенштейном [9, гл. 9] для движения сжимаемой идеальной жидкости. Несколько искусственный метод Лихтенштейна был позднее усовершенствован Таубом [44, стр. 148]. Наиболее
*) См. [5], стр. 173, 522. Аналогичный метод был использован Пиола [Р і о 1 a G., Modena Мет., 24, 1 (1848)] для вывода общих уравнений движения сплошной среды.
44
Гл. 2. Уравнения движения
удачная формулировка этого принципа, которой мы и будем пользоваться ниже, принадлежит Херивелу!).
Заметим сначала, что для механической системы с известной энергией принцип Гамильтона можно сформулировать в виде
где функция Лагранжа 2 представляет собой разность кинетической и потенциальной энергии. Существенное отличие принципа (15.3) от установленных ранее заключается в том, что форма этого принципа не зависит от вида уравнений движения рассматриваемой задачи. Принцип (15.3) позволяет, таким образом, вывести уравнение движения совершенно независимо от принятого выше постулата о сохранении количества движения. Применим этот метод для вывода уравнений движения газа.
Будем предполагать, что движение происходит без выделения тепловой энергии или, точнее, что удельная энтропия 5 каждой жидкой частицы остается постоянной во время движения2), т. е. что
При этом предположении энергия определяется формулой $ + 6» где ? — кинетическая энергия, а 6 — внутренняя энергия рассматриваемого объема жидкости;
(? = І рEdv, Е = Е(р, S) = Удельная внутренняя энергия.
В качестве функции Лагранжа естественно выбрать 2 = ?— Покажем теперь, что при таком выборе ? уравнение (15.3) приводит к правильным уравнениям движения сжимаемой идеальной жидкости.
