Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Ьх = 8х (X, t) обозначает вариацию траектории; 5х = 0 при t = t0 и t = tv Как было показано выше, из предположения о том, что полученное в результате вариации
(15.3)
!) Н е г і v е 1 J. W., Proc. Cambridge Phil. Soc.t 51, 344 (1955).
2) Термодинамическое обоснование последующих рассуждений можно найти в п. 30 и первом разделе п. 33.
15. Идеальные жидкости
45
движение удовлетворяет уравнению неразрывности, следует, что вариация плотности определяется формулой (14.5). Аналогичными рассуждениями доказывается, что вариация энтропии должна удовлетворять условию
Из уравнений (14.6), (14.5) и соотношения (дЕ/др)$ = р/р2 получаем
Величина 8? определяется формулой (14.7), Мы можем теперь, преобразуя обычным способом уравнение (15.3) и используя формулы для 8Ї, 8® и ЬЖе, вывести уравнения
совпадающие, очевидно, с обычными уравнениями движения1). Мы снова подчеркиваем, что они были выведен-ы из вариационного принципа, не включающего в себя априорного знания их формы. Дело обстояло иначе при выводе уравнений движения (14.3) из вариационного принципа (14.2).
В теоретической механике уравнение энергии является следствием принципа Гамильтона. Заметим, что это верно и в нашем случае. Действительно, из соотношения
мы получаем, воспользовавшись уравнением (9.2), уравнение
которое совпадает с обычной формулировкой закона сохранения энергии для нетеплопроводной среды.
В работе, на которую мы уже ссылались, Херивел пытался обосновать уравнения движения идеальной жидкости
85 = 0.
8g= J оЬЕ dv = — J р div 8х dv =
= J 8х • grad pdv — (j) рп • 8х da.
pa = pf — grad p и t = — pn.
d@ С dE Л С A- j _T=J p—dv^ ] pdivvdv
d_
dt
l) В нашем выводе мы следовали в основном работе Херивела, однако в формулировку принципа и его доказательство внесены некоторые изменения.
46
Гл. 2. Уравнения движения
при помощи вариационного принципа, сформулированного в переменных Эйлера. Ему не удалось, однако, достичь полной общности; только некоторый класс течений, удовлетворяющих уравнениям Эйлера, давал экстремум построенному функционалу. Это затруднение впервые было разрешено Линь Цзя-цзяо, которым была предложена корректная формулировка вариационного принципа Херивела1). Рассматриваемый вариационный принцип Херивела — Линя утверждает, что каждая экстремаль функционала
где через L обозначена плотность функции Лагранжа
является течением, удовлетворяющим уравнениям Эйлера. Экстремаль функционала разыскивается при этом в классе движений, удовлетворяющих следующим законам сохранения:
здесь векторное поле Х(х, t) определяет начальное положение частицы, находящейся в момент времени t в точке х2).
Сформулированную вариационную задачу можно освободить от ограничений, наложенных на вариации v, р, S и X. Для этого нужно ввести множители Лагранжа ср, р, у, после
!) В вариационной задаче, сформулированной Херивелом, накладывались только первые два ограничения (15.6), третье ограничение было введено Линем (в неопубликованной работе). Без этого дополнительного условия изэнтропическое течение давало экстремум функционалу (15.5) только в том случае, когда это течение было безвихревым [см. первое уравнение (15.7)].
2) Аналогичные результаты предварительного характера были получены Клебшем [С 1 е b s с h А., /. reine angew. Math.., 54, 293 (1857); 56, 1 (1859)] и Бейтменом [Bateman Н., Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A, 125, 598 (1929)].
(15.5)
L = ^pq*-9(E+i2),
-^--{-div(pv) = 0 (сохранение массы), -^- = 0 (сохранение энергии
(сохранение энергии), (15.6)
(идентификация частицы);
15. Идеальные жидкости
47
чего эта задача принимает следующий вид:
8 //lz'+rf(S'+div(pv))~p^_PY'i^}^^=0-
Частные вариации величин, входящих в это соотношение, приводят к уравнениям
8v : V = grad tp -f- p grad 5 -f- grad X • y.
8р : dy ~dt 1 2 — 1 — Q,
85: d$ dt 1 dE ~ IdS ) =T' h
8Х : dt = 0.
Покажем, что уравнение (6.9) является следствием этих уравнений и двух первых соотношений (15.6). Перепишем с этой целью первое из соотношений (15.7) в виде
v = 2^gradT)x.
X
Применяя формулы (3.5) и (3.6), мы приходим к следующему выражению для ускорения:
a + grad^2 = 2] ^ grad+ grad ijx). (15.8)
х
Но dS/dt — dXfdt = d^/dt — 0, поэтому а = — grad і q14- grad gradS = —grad 9-у grad p.
(Мы использовали здесь известное термодинамическое тождество TdS = dI — dp/p.)
Для того чтобы придать проведенному исследованию законченный характер, нужно еще показать, что каждое течение идеальной сжимаемой жидкости является экстремалью вариационной задачи Херивела — Линя. Этот факт был установлен автором настоящей работы (см. п. 29а).
Хотелось бы иметь возможность вывести уравнения движения вязкой жидкости на основе вариационного принципа, аналогичного принципу Херивела. Вопрос сводится по существу к тому, что необходимо в качестве дополнительного
48
Гл. 2. У равнения движения
условия постулировать уравнение энергии (в работе Херивела, например, уравнение энергии определяется условием сохранения энтропии). Без такого или какого-либо аналогичного дополнительного условия, по-видимому, невозможно получить уравнения движения вязкой жидкости из принципа Гамильтона. Так, например, Милликен]) показал, что из принципа
