Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вида 8 j Ldv = 0, где L зависит только от v и grad v,
нельзя вывести уравнений установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости, за исключением некоторых течений частного вида (эти течения будут рассмотрены в п. 75 нашей статьи)2).
Другие вариационные принципы. Кроме рассмотренных выше основных вариационных принципов, существуют различные вариационные формулировки частных задач динамики жидкости. Некоторые из этих вариационных задач мы будем рассматривать ниже в соответствующих разделах нашей статьи. Отметим, в частности, теорему Кельвина о минимуме энергии (п. 24), вариационные принципы Вейтмена (п. 47), теоремы Гельмгольца и Рэлея (п. 75) и т. п.
1) Mill і k ап С., Phil. Mag., (7) 7, 641 (1929).
2) Результаты отрицательного характера, касающиеся вариационных принципов для движения вязкой жидкости, были получены и другими авторами [Gerber R., Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1, 157 (1950), J. Math. Pure Appl.f 32, 79 (1950); Bateman H., Phys. Rev., (2), 38, 815 (1931)].
ГЛАВА З
НЕСЖИМАЕМЫЕ И БАРОТРОЛНЫЕ ИДЕАЛЬНЫЕ ЖИДКОСТИ
§ 1. Общие принципы
16. Введение. Мы начинаем детальное изучение свойств движущейся жидкости с частного, но весьма важного случая идеальной жидкости. В этом случае вектор напряжений выражается простой формулой t =— рп и уравнения движе-
ния имеют вид
-§ + pdiw = 0, (16.1)
р = Pf — grnd p. (16.2)
В общем случае к этим четырем уравнениям следует добавить термодинамическое соотношение
p = f(Р- т)< (16.3)
где через Т обозначена абсолютная температура. Исследование этого общего случая мы отложим до следующих глав, здесь же мы рассматриваем изящную теорию, основанную на предположении, что давление и плотность связаны непосредственно, т. е. что
P — f( р) или р — g(p). (16.4)
Течение, в котором плотность и давление связаны таким образом, называется баротропным. Заметим, что соотношение (16.4) может выполняться либо в силу особых условий, при которых происходит движение, либо в силу присущих самой жидкости свойств. В последнем случае жидкость называется пъезотропной (различие между баротропным движением и движением пьезотропной жидкости станет ясным, если заметить, что любое течение пьезотропной жидкости баротропно, но не наоборот; см., например, приведенные ниже примеры). Пьезотропная жидкость, для которой р =5 = const, называется несжимаемой.
4 Зак. 1160
50 Гл. 3. Несжимаемые и баротропные идеальные жидкости
Укажем следующие примеры баротропного течения.
1. Установившееся движение воздуха при числах Маха от 0 до 0,4. Изменение плотности во всей области течения при таких числах Маха не превышает 8%, и, как правило, плотность можно считать постоянной.
2. Иззнтропическое движение газа. В случае, например, совершен) о о газа с постоянными удельными теплоемкостями,
р = TVp', N, у = const.
Все результаты, полученные в этой главе, основаны на предположении консервативности поля внешних сил, f = = — grad !2. Заметим, что никакие дополнительные предположения относительно характера движения жидкости здесь использоваться не будут.
Характерным свойством баротропного движения является потенциальность поля ускорений
a = ^=-grad(J-^ + Q). (10.5)
Эта простая формула Эйлера является основой дальнейшего исследования и приводит к значительному упрощению вопроса о свойствах движения жидкости.
Плоское движение. Осесимметричное движение. Век-торные линии. Краткий обзор этих понятий, которым мы заканчиваем вводный пункт данного раздела, имеет своей главной целью установить терминологию.
Движение жидкости называется плоским течением, если в некоторой прямоугольной системе координат X => (х, у, Z) скорости u = vl, v = v2 являются функциями только хну, a v3 = 0. Движение происходит в семействе плоскостей, параллельных плоскости х, у, ив каждой из этих плоскостей имеет один и тот же вид. По этой причине можно ограничиться рассмотрением единственной плоскости 2== 0. Движение называют осесимметричным, если в некоторой цилиндрической системе координат X = (х, у, 0)1) скорости
1) Ориентация системы координат показана на рис. 2. Вместо этих обозначений некоторые авторы [например, Ламб и Милн-Томсон используют обозначения (х, со, 0)]. Следует заметить, что введению в меридианной плоскости полярных координат г, 6 обычно соответствует введение в пространстве сферических координат г, у, 0.
17. Конвекция завихренности
51
u = vl, v = v2 являются функциями только х и у, а г/3 = 0. Очевидно, что в этом случае достаточно изучить движение в меридианной полуплоскости 0 = 0.
Кривая, касательная к которой совпадает в каждой точке с данным непрерывным векторным полем, называется векторной линией. В частности, векторные линии поля скоростей называются линиями тока, а векторные линии поля вектора завихренности — вихревыми линиями. (Заметим, что линии тока и траектории частиц совпадают, вообще говоря, только в случае установившегося движения.) Наконец, говорят, что движение безвихревое, если поле вектора завихренности равно нулю.
17. Конвекция завихрен-
ности. Изучение изменения во времени поля вектора завихренности является одним из наиболее важных методов получения информации о движении жидкости. Имея это в виду, мы выведем сейчас кинематическое соотношение, определяющее скорость изменения завихренности в произвольном течении сплошной среды. Отправным пунктом нам послужит хорошо известное тождество
