Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
dJ d [ дх1 \ Ла dv1 яа dv1 дх) а____________________ dv1 ,
Л і — ——г J •
d [ дх1 \ ла dvl ла
' dt [ дха ) 1 ~~ дха 1
dt dt \дХ J дХ дх* дХ дх1
Несжимаемые жидкости, Если жидкость предполагается несжимаемой (это означает, что движение происходит без изменения объема), то из формулы (3.8) следует, что
divv = 0. (3.9)
Дальнейшее изучение движения несжимаемой жидкости должно включать в себя динамические рассуждения; в частности, обычное предположение rot v = 0 всякий раз нуждается в динамическом обосновании.
4. Теорема переноса. Пусть 23 = 23(f) — произвольный объем, движущийся с жидкостьюl), a F (х, t) — скалярная или векторная функция точки. Тогда интеграл по объему
/
F dv
является вполне определенной функцией времени. Производная этой функции выражается следующей важной формулой:
А dt
J Fdv~ J -f- F div vj dv. (4.1)
l) Мы всегда будем употреблять прописные готические буквы для обозначения объемов, поверхностей и кривых, движущихся с частицами жидкости. С другой стороны, объемы, поверхности и кривые, фиксированные в физическом пространстве, мы будем обозначать строчными готическими буквами. Эти обозначения удобны при изложении основных принципов гидродинамики.
4. Теорема переноса
17
Для доказательства равенства (4.1) выберем в качестве переменных интегрирования переменные (An, X2, Хг), связанные с (л;1, х2, Xs) соотношениями (3.1). При этом объем S (t), движущийся вместе с жидкостью в пространстве переменных х, перейдет в объем $0 = 23 (0), фиксированный в пространстве переменных X (объем 23 (t) состоит все время из одних и тех же частиц жидкости).
Якобиан указанной замены равен У, следовательно,
§Fdv= f F(X. t)Jdv0.
? SSo
Так как в правой части от t зависит только подинтеграль-ная функция, мы видим, что
ж!'’*> = /(•' 4r+fTr)*’
95 Шо
и равенство (4.1) сразу следует из формулы Эйлера (3.8).
Формуле (4.1) можно придать вид, который сделает более ясным ее кинематическое значение. В самом деле, под-интегральная функция в правой части равенства (4.1) в силу соотношения (3.6) может быть записана в виде
if + div (yF).
Применив теорему Гаусса — Остроградского (2.2), получим —¦ J F dv = J F dv -f- (6 F\ • nda. (4.2)
S3 95 ©
Здесь © обозначает граничную поверхность объема 23, v«n— проекцию v на направление внешней нормали к @, a djdt — дифференцирование при фиксированном объеме 23. Равенство (4.2) отражает тот факт, что скорость изменения интеграла от величины F, заданной на материальном объеме 23, равна сумме скорости изменения интеграла от F по фиксированному объему, совпадающему в момент t с 23, и потока F через граничную поверхность. Следует подчеркнуть, что равенства (4.1) и (4.2) выражают кинематическую теорему, не зависящую от характера величины F.
18
Гл. 2. Уравнения движения
б. Уравнение неразрывности. Мы предполагаем, что масса жидкости, заключенной в объеме 95, определяется формулой
m=fpdv, (5.1)
93
где р = р (х, t) > 0. Плотности р (х, t) приписывается физическая размерность „масса/единица объема".
Обращаясь к физическому значению понятия массы, мы постулируем следующий принцип сохранения массы: масса жидкости в объеме 93, движущемся вместе с жидкостью, неизменна во все время движения. Этот принцип сохранения массы можно сформулировать иначе как утверждение
¦— J pdv= 0. (5.2)
Из уравнений (4.1) и (5.2) следует, что /(-§ + Pdivv)^ = °.
55
и в силу произвольности объема мы получаем
+ Р div v = 0. (5.3)
Равенство (5.3), являющееся необходимым и достаточным условием сохранения массы в каждом движущемся объеме, носит название уравнения неразрывности в форме Эйлера. Воспользовавшись формулой (3.6), мы можем записать уравнение неразрывности в другом виде:
-^+div(pv) = 0. (5.4)
Заметим, что в сущности приведенные рассуждения принадлежат Эйлеру*).
*) Euler L., Principes gen^raux du mouvement des fluids, Hist. Acad. Berlin (1755), Opera Omnia (2), 12, стр. 54—92. Еще раньше (в 1751 г.) Эйлер получил соответствующие результаты для несжимаемой жидкости, но они не были опубликованы до 1761 г.
6. Уравнения движения
19
Умножив уравнение (5.3) на У и применив формулу (3.8), мы получим уравнение неразрывности в форме Лагранжа:
-gf (Р-0 — 0. pJ=9o, (5.5)
здесь р0 — р0 (X) обозначает первоначальное распределение плотности.
Принцип сохранения массы выражают иногда в эквивалентной форме для фиксированного объема: скорость изменения массы в фиксированном объеме Ь равна потоку массы через граничную поверхность, т. е.
-jL Jprfv — —|pV.n da. (5.6)
и Є
Применение теоремы Гаусса—Остроградского к правой части равенства (5.6) приводит к уравнению
/ (¦§"+¦dlv (ру))^=о-
и
из которого легко получить уравнение (5.4). В большинстве учебников изложение идет именно по этому пути, но применение теоремы о дивергенции маскируется рассмотрением вариации pv в малом параллелепипеде. Единственным возражением против такого обоснования уравнения неразрывности является большая убедительность принципа сохранения массы в его первой форме.
В заключение этого раздела мы приведем важную формулу, справедливую для произвольной функции F — F{\, і):
