Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Читатель, знакомый с тензорным анализом, заметит, что если рассматривать символ b как сокращенное обозначение совокупности контравариантных Ь1 или ковариантных 6/ компонент вектора в произвольной криволинейной системе координат, а 2 — как сокращенное обозначение совокупности компонент тензора, то приведенные выше определения инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат. Таким образом, введенную нами векторную символику можно в равной мере считать и сокращенным обозначением операций тензорного анализа.
Общую формулу преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности можно записать в следующем символическом виде г):
J F>idv= §Fntda. (2.1)
У Є
!) Филлипс [48], формула (127). (См. также Кочин Н. Е., Векторное йсчисление и начала тензорного исчисления, Изд. АН СССР, М., 1951, стр. 138. — Перев.)
10
Гл. 1. Предисловие и вводные замечания
Формула справедлива для скалярной, векторной или тензорной функции F при фиксированном индексе /, допускается также суммирование по этому индексу. Функция F предполагается здесь непрерывно дифференцируемой в рассматриваемом объеме Ь, ограниченном достаточно гладкой поверхностью $; через nt обозначены компоненты внешней нормали п к 8. Заменяя F на Ь1, получаем так называемую теорему
о дивергенции (теорему Гаусса — Остроградского):
Формулы такого рода будут часто применяться в этой работе.
Перечень часто встречающихся обозначений
Иногда даже в пределах одного раздела один и тот же символ может определяться и использоваться в различных смыслах. Ссылки сделаны на пункт, в котором символ вводится впервые. с — скорость звука, п. 35,
Е — внутренняя энергия, п. 30, 33,
F —произвольная функция,
Н — общая энтальпия, п. 18, 38,
I — энтальпия, п. 38
J — якобиан, п. 3,
М —число Маха, п. 36,
п —длина дуги нормали к линии тока, р —давление,
q — модуль вектора скорости,
Q —поток массы, п. 37,
г —длина радиуса-вектора,
s —длина дуги линии тока,
S — энтропия, п. 30, 33,
t — время,
Т — абсолютная температура,
u,v,w—компоненты скорости,
а —вектор ускорения,
D —тензор деформации, п. И,
f —вектор внешней силы,
I —единичная матрица,
п —вектор единичной (внешней) нормали к поверхности,
(2.2)
Замена F на eiikbj приводит к равенству
(2.3)
Ю S ЕО Є -€- ф-6 ф <5р < Н
Перечень обозначений
И
t —вектор напряжения, п. 6,
— тензор напряжений, п. 6,
— вектор скорости,
— плотность,
— полярный угол,
— угол наклона вектора скорости,
— дивергенция скорости, п. 26,
— потенциал скорости,
— функция диссипации, п. 34, 61,
— функция тока, п. 19, 42,
— величина завихренности,
— потенциал внешних сил. п. 9,
— вектор завихренности,
— тензор завихренности, п. 11,
X — кинетическая энергия, п. 9,
2В — мера завихренности, п. 27,
(?, 25— кривые, поверхности, объемы, движущиеся вместе
с жидкостью,
Ь, §> — объем и поверхность, фиксированные в пространстве. Ряд других стандартных обозначений указан в п. 2 и 3.
ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Кинематика и динамика движения жидкости
3. Основные понятия кинематики. Математическим понятием, соответствующим интуитивному физическому представлению о движении жидкости, является понятие непрерывного преобразования трехмерного евклидова пространства в себя. Параметр t, описывающий это преобразование, отождествляется с временем. Роль начального момента времени будет играть t = 0, а областью изменения t мы будем обычно считать всю действительную ось.
Для аналитического описания преобразования введем фиксированную в пространстве прямоугольную систему координат (л;1, л;2, л;3). Тройку координат (х1, х2, х3) мы отождествляем с точкой пространства и обозначаем через х Рассмотрим теперь характерную точку или частицу Я, движущуюся с жидкостью. Пусть в момент t = О она находится в точке Х = (Л"1, X2, X3), а в момент t — в точке х = =>(a:!, л;2, л;3). Тогда величина х определена как функция X и t и течение может рассматриваться как преобразование
х = 9(Х, t) (или х* = у*(Х, *))• (3.1)
Если X фиксировано, a t изменяется, то уравнение (3.1) определяет траекторию частицы Я, первоначально находившейся в точке X. С другой стороны, при фиксированном t соотношение (3.1) определяет преобразование области, занимаемой жидкостью в начальный момент, в область, занимаемую жидкостью в момент времени t.
Мы предполагаем, что первоначально различные точки остаются различными во все время движения, или, другими
3. Основные понятия кинематики
13
словами, что для преобразования (3.1) существует обратное преобразование1):
X — Ф (х, t) (или ЛГ* = ФЛ(х, t)). (3.2)
Предполагается также, что ср/ и Ф® обладают непрерывными производными до третьего порядка по всем переменным, исключая, быть может, некоторые особые поверхности, кривые или точки. Если противоположное не оговорено, мы будем рассматривать только те части течения, которые не содержат особенностей. Исключительные случаи (в частности, особые поверхности) требуют специального изучения; о них речь будет идти в п. 51 и 54. Заметим в заключение, что внутри любой замкнутой поверхности, движущейся с жидкостью, содержатся одни и те же частицы во все время движения.
