Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1) Здесь, как и всюду в дальнейшем, имеется в виду „ Энциклопедия физических наук* (Handbuch der Physik), в т. VIII/1 которой включена эта статья Серрина. — Прим. перев.
2. Векторы и тензоры
7
глава начинается с обоснования уравнений, описывающих движение вязкой жидкости, и охватывает некоторые теоретические работы, опубликованные в последние годы.
Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы: изложение вариационных принципов
(п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9),
(40.6), (42.8) и т. д. Везде, где это возможно, мы пытались указывать в ссылках первоисточники, однако полная библиография вопроса приводится далеко не всегда, так как в большинстве случаев ее можно проследить по цитированным работам. В заключение мы должны добавить, что во многих случаях доказательства значительно видоизменены и сокращены по сравнению с их первоначальной формой.
Эта работа многим обязана интересным лекциям и замечательной эрудиции моих учителей Дэвида Джилбарга и Клиффорда Трус-делла. Их влияние во многих местах очевидно, хотя ответственность за содержание статьи лежит целиком на мне. Моей жене Барбаре я глубоко благодарен за большую помощь в оформлении рукописи и в особенности за ее ценные замечания по поводу общего плана статьи. Образцом работы по динамике жидкости в смысле стиля, ясности и законченности изложения является книга Ламба „ Гидродинамика" [8]. Автор надеется, что он остался верен манере изложения этой книги.
Научно-исследовательскому отделу ВВС США автор обязан поддержкой в период работы над этой статьей.
2. Векторы и тензоры. В этой статье употребляются традиционные обозначения векторного анализа. Применение этих обозначений приводит к предельной краткости изложения и вместе с тем поясняет физический смысл формулы. Мы используем в основном стандартные векторные операции, однако в отдельных случаях возникает необходимость применения выражений, которые могут показаться необычными или двусмысленными. По этой причине удобно определить все операции при помощи компонент вектора; тогда легко выяснить смысл уравнения, переписав его в виде проекций на оси координат. Этот метод имеет еще и то преимущество, что любому уравнению при желании можно сразу дать тензорную интерпретацию.
8
Гл. 1. Предисловие и вводные замечания
За немногими исключениями мы будем употреблять полужирные строчные буквы латинского алфавита для обозначения векторов; компоненты векторов Ь, с и т. д. в фиксированной ортогональной системе координат будут обозначаться через Ь1, с1 и т. д. или bit ct и т. д., где i= 1, 2, 3, В этих обозначениях скалярное произведение b • с определяется формулой
b • с === bici = bici\
согласно общепринятому соглашению, повторяющийся индекс означает суммирование по этому индексу от 1 до 3 !).
Аналогичным образом векторное произведение b X с определяется через компоненты этих векторов формулой
(Ь х с/ = elikbjCk,
где e^k — обычный перестановочный символ2). Модуль вектора b обозначается соответствующей курсивной строчной буквой Ь, т. е.
й == I ь | = уїіГНГ
(следует отметить, что модуль вектора скорости V будет обозначаться в отличие от общего правила через q, а буква v будет использована для обозначения одной из компонент скорости).
Символы grad ср, div b и rot b будут использоваться в их обычном смысле, т. е.
div b = b\ і*
(rot b У = elJkbki J, (grad ср), = ср,
Запятая в этих формулах в соответствии с обычным соглашением обозначает дифференцирование. Другими словами, для произвольной скалярной или векторной функции точки пространства мы имеем, по определению,
дР
F , =е— , /= 1, 2, 3.
’ ‘ дх1
При использовании криволинейных систем координат, например в п. 12, определение F t должно быть видоизменено.
*) Одновременное употребление верхних и нижних индексов принято для единообразия с обозначениями тензорного исчисления.
2) То есть е123 — е23Х = е312 = 1, е = 213 = е132 = е321 = — 1, а остальные компоненты равны нулю.
2. Векторы и тензоры
9
Мы, однако, на этом останавливаться не будем, так как за несколькими исключениями система координат всюду предполагается декартовой.
В этой работе мы часто будем иметь дело с тензорами второго ранга (диадами). Для их обозначения будут употребляться полужирные прописные буквы 2, Т ит. д. Компоненты тензора 2 будут обозначаться через или, когда это удобнее, через Х/у и ?/у.. Под равенствами b = с • 2 и b ~ 2 • с мы понимаем соответственно
bt = cjLji и bl = TiiJCj.
Наконец, символ 2: Т обозначает скалярное произведение
Vі ти.
Удобны некоторые специальные обозначения. Под div 2 мы понимаем вектор с компонентами XX7, Символ gradb обозначает тензор с компонентами bjti\
(grad b)y = bj t
Наконец, под 2X мы понимаем вектор с компонентами е,;АЕjk. Из этих определений следует, что
rot b = (grad b)x и (с • grad b)t — cjbifj.
