Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (закон сохранения момента количества движения). Для любой сплошной среды, удовлетворяющей уравнению неразрывности (5.3), уравнениям движения (6.7) и постулату Больцмана (7.1), мы имеем
Jp(r х v)dv= Jp(r х f)dv-\- ? r x tdu (7.2)
33 33 (S
для произвольного объема 93, движущегося вместе
с жидкостью.
Доказательство. Исходя из уравнений (5.7) и (6.7), нетрудно показать, что
wfp(rXv)dv = fP(rX-^-)dv =
33 33
— f р (г X f) dv -(- (j) г X t da — J TK dv.
93 @ . Зі .
Через Tx здесь обозначен вектор с компонентами (Тх)/ == = e^kTjk. В силу соотношений (7.1) мы имеем Тх = 0, и уравнение (7.2) доказано. Верно и обратное утверждение: если уравнение (7.2) справедливо для произвольного объема 23, то тензор Т должен быть симметричным.
1) См. работу Коши, указанную в примечании і на :тр. 22.
26
Гл. 2. Уравнения движения
Для некоторых жидкостей тензор напряжений оказывается симметричным в силу чисто механических причин, независимо от каких-либо других предположений. Мы отметим, в частности, невязкие жидкости, для которых Т = — /?1, и изотропные вязкие жидкости, для которых напряжение является функцией от скорости деформации (п. 59). В этих практически интересных случаях постулат Больцмана является просто тавтологией и уравнение (7.2) может быть получено непосредственно из уравнений движения.
Можно формально построить механическую систему, для которой тензор Т будет несимметричным; примеры таких систем приведены в работе Гамеля [42]. Принцип сохранения момента количества движения в форме (7.2) в этом случав уже несправедлив и нуждается в обобщении.
8. Граничные условия. Если поверхность © в движущейся жидкости состоит все время из одних и тех же частиц, то ясно, что она играет роль поверхности раздела, отделяющей жидкость, заключенную внутри ©, от жидкости вне этой поверхности. Обратное предложение о том, что каждая поверхность раздела состоит все время из одних и тех же частиц, менее очевидно.
Предположим, что жидкость находится в непрерывном движении, удовлетворяющем условиям, сформулированным в п. 3, и что поверхность F (х, і) = 0 ограничивает некоторый объем жидкости. Тогда функция F должна удовлетворять следующему условию:
-jt ~ -gj- + v • grad F = 0 npnF = 0. (8.1)
Условие (8.1) было впервые сформулировано Кельвином1). Это условие означает, что поверхность F (х, ?) = 0 все время состоит из одних и тех же частиц (Лагранж2)).
Доказательство. Нормальная скорость движущейся поверхности F (х, t) = 0 выражается известной формулой
У _ dF/dt ~ | grad F |
1) Thomson W. (Kelvin), Cambridge and Dublin Math. J. (1848); Papers 1, стр. 83.
2) L a g r a n g e J. L., Nouv. Mem. Acad. Sci. Berlin (1781); Oeuvres 4, стр. 706.
9. Уравнение переноса энергии
27
По предположению поверхность F = 0 является поверхностью раздела. Легко видеть, что для такой поверхности должно выполняться условие
V = у • n = v • (grad /7| grad ^|).
Отсюда сразу следует равенство (8.1). Покажем теперь, что при выполнении условия (8.1) поверхность F = 0 состоит все время из одних и тех же частиц. Положим
0(Х, t) = F(<f(X, t), t)
и рассмотрим поверхность G (X, t) = 0 в пространстве переменных X. Эта поверхность является геометрическим местом точек, в которых первоначально находились частицы, составляющие в момент t поверхность F (X, t) — 0. Из условия
(8.1) следует, что
4°=0 при 0 — 0.
Таким образом, нормальная скорость распространения поверхности G = 0 равна нулю и, следовательно, в пространстве переменных X эта поверхность покоится. Это в свою очередь означает, что поверхность F = 0 состоит все время из одних и тех же частиц.
На неподвижных частях границы выполняется очевидное условие v-n = 0.
§ 2. Перенос энергии и количества движения
9. Уравнение переноса энергии. Обозначим через % кинетическую энергию жидкости в объеме 93.
2=4/р q2dv,
as
а через D — тензор деформации, 0^ = !/2 (vlt y-f- Vjt t). Тогда для произвольного объема 93, движущегося с жидкостью, мы имеем
— = Jpf-v<ta+ j,t-vda — fl:Ddv. (9.1)
58 ©53
Вывод этой формулы сводится к простому применению уравнений (5.7) и (6.7) с учетом симметрии тензора Т.
28
Г л. 2. Уравнения движения
Уравнение (9.1) означает, что скорость изменения кинетической энергии в движущемся объеме равна разности мощности внешних сил, действующих на объем, и от-несенной к единице времени величины „диссипации*, вызванной работой сил напряжений по деформации объема. Точнее, последний член дает величину работы, затрачиваемой за единицу времени на изменение объема и формы элемента жидкости. Некоторая часть энергии при этом переходит в теплоту (см. п. 34). В случае идеальной жидкости уравнение энергии принимает более простую форму:
= J pf. у dv — ^ pv • nda J p div v dv. (9.2)
Последний член этой формулы дает величину работы сил давления, затрачиваемой за единицу времени на изменение объема жидкости.
Уравнение энергии допускает небольшое упрощение, если поле f порождается не зависящим от времени потенциалом:
f = -— grad 2, 2 = Q (х). В этом случае, полагая U = J р2 dv,
58
мы получим
