Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(5.7)
? ?
Равенство (5.7) легко вывести из формул (4.1) и (5.3).
6. Уравнения движения. Мы переходим теперь к рассмотрению динамики движения жидкости и ставим перед собой задачу получить те уравнения, которые описывают действия на жидкость внешних и внутренних сил. В этом пункте мы дадим, вероятно, наиболее прямое и обоснованное исследование этого вопроса, намеченное в основных чертах еще в работах Эйлера и Коши.
2*
20
Гл. 2. Уравнения движения
Мы принимаем в качестве постулата принцип напряже-ний Коши 1), утверждающий, что „для любой замкнутой поверхности © существует распределение вектора напряжений t с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил, действующих на сплошную среду, .заключенную внутри ©, со стороны среды, расположенной вне этой поверхности* 2). Предполагается при этом, что в данный момент времени вектор t зависит только от положения и ориентации элемента поверхности da\ другими словами, если обозначить через п внешнюю нормаль к поверхности ©, то t — t(x, t\ п). Как отмечает Трусделл, принцип Коши обладает „гениальной простотой. Его подлинную глубину можно оценить, только представив себе, что целое столетие выдающиеся геометры использовали при исследовании довольно частных задач упругости очень сложные, а иногда и не совсем корректные методы. В их работах нет даже намека на эту основную идею, которая сразу наметила ясные пути обоснования механики сплошных сред"3),
Мы сформулируем теперь основной принцип динамики движения жидкости, носящий название принципа сох ране* ния количества движения: скорость изменения количества движения жидкости, заключенной в движущемся объеме 93, равна результирующей сил, действующих на эту жидкость4). Аналитическим выражением этого
*) Cauchy A. L., Ex. de Math., 2 (1827), Oeuvres (2), 7, стр. 79—81. Аналогичный принцип был сформулирован ранее Эйлером в случае идеальной жидкости.
2) Приведенная нами формулировка принципа Коши принадлежит Трусделлу [У. Rational Mech. and Anal., 1, 125 (1952)].
3) Trues.de 11 С., Amer. Math. Monthly, 60, 445 (1953).
4) Необходимость четкого определения постулатов* на которых основана механика сплошных сред, была отмечена еще Феликсом Клейном и Давидом Гильбертом. Сведение исходных предположений в систему аксиом было осуществлено впервые Гамелем \Math. Ann., 66, 350 (І908)]; см. также [42], стр. 1—42. Более строгое обоснование механики сплошных сред, сравнимое по уровню строгости с современным математическим анализом, можно найти ц недавней работе В. Нолла.
Следует подчеркнуть, что сформулированный вышз постулат, несмотря на существующую здесь аналогию, не может быть получен из классической механики системы дискретных материальных точек простым предельным переходом.
6. Уравнения движения
21
принципа является уравнение
J pv dv = f pf dv -і-
где через f обозначено поле внешних сил, отнесенных к единице массы. В формулировке (6.1) принципа неявно предполагается, что сила f является известной функцией, зависящей от выбранной точки пространства, времени и, возможно, состояния движения жидкости. Заметим, что при такой точке зрения обходится одна из главных проблем обоснования механики, а именно проблема определения системы коррдинат, в которой f является известной функцией, или по крайней мере доказательства существования такой системы координат. Однако в приложениях механики жидкости инерцщільность рассматриваемой системы координат обычно не вызывает сомнений и переход от сформулированного принципа сохранения количества движения к уравнению (6.1) является, очевидно, законным. Используя формулу (5.7), уравнение (6.1) можно записать в виде
J р ~dv — J pf dv-\- ^ tda.
(6.2)
(Здесь интегрирование по движущемуся объему можно заменить интегрированием по неподвижному объему.)
Отметим одно важное следствие уравнения (6.2). Пусть /3 есть величина объема области Ь; ства (6.2) на /2, мы получим в пределе, когда /-> 0, при одном только предположении ограниченности подинтеграль-ной функции Пт1-*?,Л, = 0. (6.3)
v-*0 J
0
Это равенство показывает, что силы напряжений находятся в локальном равновесии. Рассмотрим теперь тетраэдр, изображенный на рис. 1, с вершиной в некоторой .произвольной
Рис. 1. Напряжения на тетраэдре.
разделив обе части равен*-
11 da,
(6.1)
22
Гл. 2. Уравнения движения
точке х и тремя гранями, параллельными координатным плоскостям. Обозначим нормаль к наклонной грани и площадь этой грани соответственно через п и Е. Нормалями к трем остальным граням являются векторы —i, —j, —k, а их площади равны /^И, /г2И и /г3?. Применим формулу
(6.3) к семейству тетраэдров с площадью наклонной грани Е—>0 и фиксированной нормалью п. Так как /2~? и t является непрерывной функцией точки, мы получим
t (n) + rtxt (— і) + n2t (—j) -1- re3t (— k) = 0; (6.4)
здесь t(n) сокращенно обозначает t'(n) = t(x, t\ n). Эта формула доказана нами только при положительных пt. Для того чтобы проверить ее справедливость при более широких предположениях, заметим сначала, что по непрерывности эта формула остается справедливой при nL^> 0. Отсюда, в частности, следует, что t (і) = — t (— і), t (j) = -1 (-j), t (k) = — t (— k). (6.5)
