Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 7

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 82 >> Следующая

Рассматривая теперь тетраэдры в других октантах и применяя соотношения (6.5), нетрудно убедиться, что формула
t (n) = nxt (і) -f- n2t (j) -j- n3t (k) (6.6)
справедлива для произвольного вектора п. Следовательно, t представляет собой линейную функцию компонент вектора п:
? = где Vі == Vі (X, t).
Матрица коэффициентов Т1] образует, очевидно, тензор; этот тензор называется тензором напряжений и обозначается в нашей работе через Т. Каждая компонента Т имеет простую физическую интерпретацию, а именно Тесть компонента по оси j силы, действующей на поверхностный элемент с внешней нормалью, направленной по оси /. Приведенные рассуждения в сущности принадлежат Коши х).
Заменяя в уравнении (6.2) t на п • Т и применяя теорему Гаусса — Остроградского, мы получаем, что
/р4Fdv = ! (Pf + divl)*'.
у U
l) Cauchy A. L., Ex. de Math,2 (1827); Oeuvres (2), 7, стр. 79—81.
6. Уравнения движения
23
а так как объем Ь произволен, отсюда следует, что
p4r=zpf+divT- <6-7)
Впервые это изящное уравнение движения было получено Коши1). Оно справедливо не только для жидкости, но и вообще для любой сплошной среды независимо от вида тензора напряжений.
Идеальная жидкость. Во всех реальных жидкостях могут возникать, очевидно, тангенциальные напряжения на поверхностных элементах, так что направление силы t не будет, вообще говоря, ортогонально элементу поверхности, к которому эта сила приложена. Тем не менее во многих практических задачах тангенциальные напряжения играют незначительную роль и поэтому представляет интерес изучение идеализированной среды, в которой тангенциальные напряжения отсутствуют. Итак, по определению, для идеальной жидкости
t = — рп. (6.8)
Величина р носит название давления: когда р > 0, силы t, действующие на замкнутую поверхность, стремятся сжать жидкость, заключенную внутри этой поверхности. Сопоставив равенства (6.6) и (6.8), мы найдем, что /?(п) = р(і) =
— р (j) = р (к). Величина р не зависит, таким образом, от п и
р = р(х, t).
Уравнения движения принимают в рассматриваемом случае более простой вид1):
p-^ = pf — grad р. (6.9)
Полученную нами систему, состоящую из трех уравнений, соответствующих уравнениям (6.7) или (6.9), и уравнения (5.3), можно рассматривать как систему относительно четырех неизвестных: р и трех компонент скорости v. Переменные Т и р, входящие в уравнения (6.7) и (6.9), на
1) Cauchy A. L., Ex. de Math., З (1828); Oeuvres (2), 8, стр. 195-226.
2) См. работу Эйлера, указанную в примечании 1 на стр. 18.
24
Гл. 2. Уравнения движения
основании соображений термодинамического и механического характера могут быть непосредственно выражены через плотность и компоненты скорости. Различные возможные варианты будут рассмотрены в следующих главах.
У равнения движения в переменных Лагранжа. В случае идеальной жидкости нетрудно получить уравнения, которым удовлетворяют v, р и р как функции переменных Xа, t. Действительно, умножив обе части уравнения (6.9) на х1ща= ==х1,а и воспользовавшись равенством dv/dt — d2xldt2, мы получим, что
Эти уравнения можно записать в векторной форме так:
За исключением случая одномерных течений, уравнения (6.10) почти не используются, так как их применение довольно неудобно. Необходимость в них возникает, однако, каждый раз, когда нужно отличать одну частицу от другой, например в случае неоднородной жидкости. Уравнения движения вязкой жидкости в переменных Лагранжа, вероятно, не применяются вообще !).
7. Закон сохранения момента количества движения.
В классической динамике материальных точек или твердых тел принцип сохранения момента количества движения обычно формулируется в виде теоремы. Ее доказательство основано, однако, на определенных предположениях относительно „внутренних" сил взаимодействия частиц или тел, образующих материальную систему. Аналогичный метод применим и в механике сплошных сред2). Здесь для того, чтобы обеспечить сохранение момента количества движения, нужно
1) В теории нелинейной упругости, напротив, уравнения движения в переменных Лагранжа играют большую роль.
2) Схема, которой мы придерживаемся ниже, похожа на схему, предложенную Гамелем в работе [42], стр. 9. Возможен и другой подход, при котором постулируется обобщенный закон сохранения момента количества движения, справедливый и при наличии,моментов внешних сил; см. статью Трусделла и Тупина в этой Энциклопедии (том III, часть I).
Oradx -(-g—f)
j grad p.
(6.10)
7. Закон сохранения момента количества движения 25
сделать определенные предположения относительно напряжений на поверхностных элементах или, другими словами, относительно тензора напряжений. Точнее: мы постулируем симметричность тензора напряжений, т. е. равенство
Tij^Tji. (7.1)
(При наличии внешних моментов сил введенное предположение нуждается в модификации. Однако при изучении механики жидкости можно, что мы и делаем в дальнейшем, пренебрегать воздействием этих закручивающих моментов, так как они, вообще говоря, возникают только в поляризованном веществе.) Соотношения (7.1) были получены впервые Коши!) как следствие принципа сохранения момента количества движения. Тот факт, что эти условия являются и достаточными для справедливости указанного принципа, был обнаружен Больцманом (см. [42], стр. 9).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed