Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(3.115)- (3.116). Условие конечности энергии приводит к нетривиальному
поведению полей на бесконечности (3.113), они стремятся к своим вакуумным
значениям. Особенно важна
(3.117)
156
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
асимптотика хиггсовских полей, поскольку она определяет топологический
заряд, позволяющий классифицировать решения с конечной энергией.
Границей 3-пространства (т. е. сечения М4 с фиксированным временем t)
является бесконечно удаленная сфера S^. В сферических координатах г, %, в
она задается значением г = оо, а углы у1 = х> у1 = в
определяют положение произвольной точки на границе. Хиггсовское поле
Фа принимает на S^, вакуумные значения (3.117) и,
следовательно, принадлежит сфере Ф2 = а2 в изотопическом пространстве.
Введем для описания граничных конфигураций удобные координаты в
изотопическом пространстве типа сферических углов:
Ф^оо, х, в) - a sin У, sin У2, 't
$2(00,х,#) = acosX, siny2, / (3.121)
Фз(°о,Х,0) = acosYj, J
где y,i2 - функции от х> в (У = Y(y)). Произвольное калибровочное
преобразование д ? G(X) переводит (Ф' = дФ) одну граничную, вакуумную
конфигурацию в другую. Последняя, однако, гомотопически эквивалентна
исходной при д и Ф, гладких всюду в 3-пространстве. Действительно, без
ограничения общности можно считать, что д(х = 0) = 1, поскольку
координаты г, х О всегда можно задать так, чтобы начало совпадало с
точкой в которой 5=1. Тогда функция
F{t, х, в) = д (угу X. ^ Ф(°°> <Р, °)
является искомой гомотопией, так как она равна при t = 0 исходной
граничной конфигурации Ф(оо, х, #), а при t = 1 совпадает с
Ф'(°о, X, в) = 5(оо, х, 0)Ф(оо, х, в).
Подгруппа Н С G преобразований, оставляющих вакуум инвариантным, состоит
из вращений вокруг оси, задаваемой углами Уь У2 в изотопическом
пространстве. Таким образом, многообразие хиггсовских вакуумов имеет вид
G/H = S2, G = 5(7(2), Н = (7(1).
Отображения сфер S2; -> 52, которые задают хиггсовские поля на границе,
классифицируются элементами гомотопической группы
7Г2(52) = тг 2(G/H) = Z.
Соответствующий целочисленный заряд N можно определить как степень
отображения У (у):
N = deg У (у) = -^- J d2y sin У2
Si
Используя (3.121), нетрудно привести-введенную величину к явно
ковариантному виду
d(Yu У2)
d(y 1, уг)
(3.122)
Sic
(3.123)
§ 7. Магнитные монополи
157
где г, j, к = 1, 2, 3 - индексы произвольных 3-координат в пространстве и
rfs, - элемент площади границы .
Можно доказать эквивалентность (3.111) и (3.113) и инвариантность
топологического заряда относительно произвольных инфинитезимальных
преобразований хиггсовских полей Ф° -> Ф + <5Ф".
Конкретное решение классических уравнений (3.114)-(3.116) с фиксированным
значением топологического заряда не инвариантно относительно полной
калибровочной группы G(X). Этот факт аналогичен квантовому механизму
спонтанного нарушения симметрии, при котором основное состояние (вакуум)
не инвариантно относительно группы симметрий теории. Исходя из этой
аналогии, определим подгруппу Н С G, точной симметрии как группу
преобразований, сохраняющих граничную вакуумную конфигурацию решений.
Выше при исследовании физического содержания модели мы уже отмечали, что
Н = U{\) связана с существованием безмассового калибровочного поля
("фотона"). Сформулируем теперь этот результат, полученный в частной
калибровке (3.118), более строго.
Ввиду того что д обозначает в данном разделе калибровочную константу
связи, матрицы SU(2) калибровочных преобразований будем обозначать
ш(х) = exp(taua(x)), (3.124)
где иа - произвольные функции на М\ a ta - генераторы SU(2). Изовекторное
хиггсовское поле удобно рассматривать как элемент алгебры Ли su(2) (Ф =
Фata), на который калибровочная группа действует посредством
присоединенного представления
Ф -> Ф' = асС Ф = шФш~1. (3.125)
Как обычно, калибровочное поле = А"<а есть элемент алгебры Ли su(2) с
законом преобразования
Ам -> А1^ = (3.126)
Тогда ковариантная производная поля Ф может быть записана в виде
ЯмФ = с>мФ + g[All, Ф] = амФ+5ас1^ Ф, (3.127)
а различные инварианты, построенные из скалярных полей, можно представить
как следы матричных произведений, например,
ф2 = ф"фа = -2Тг(ФФ).
Группа Н(Х) точной симметрии модели состоит из матриц
h(x) = ехр(/Ф) = ехр(/Фа<°), (3.128)
где f(x) - произвольная функция на М4и Ф" = Ф"/Ф2. Очевидно, что
h?H(X)СG(X) и
ф' = йф/г1 = Ф,
так что хиггсовский вакуум (граничные конфигурации Фа(оо,%,<?))
инвариантен относительно (3.128). Преобразования из Н(Х) параметризуются
одной функцией /(ж), а их генераторами являются Ф = Ф"<0. Рассмотрим поле
Лм = А"Ф" = -2Тг(Л"Ф).
(3.129)
158
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Оно является абелевым калибровочным полем, отвечающим группе точной
симметрии модели, и может быть отождествлено с электромагнитным полем.
Относительно (3.128) поле Ар преобразуется по закону
^= Л" + ^Тг[(/ГЭДф] =All-^dj. (3.130)
Калибровочное поле Ам с градиентным законом преобразования (3.130)
