Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
потенциалом (3.129) и тензором напряженности (3.133). Калибровочно
инвариантный тензор (3.133) в отличие от теории Максвелла не есть просто
"ковариантный ротор" от 4-потенциала, и тем самым магнитный ток км и
магнитный заряд //. полевых конфигураций системы Янга-Миллса-Хиггса с
необходимостью нетривиальны.
Найдем электрический и магнитный токи в рассматриваемой неабелевой
модели. Для этого согласно (3.136)-(3.137) требуется вычислить
дивергенцию тензора (3.133), а также дуального к нему тензора F'u.
Преобразуем сначала (3.133). Используя определение (3.129), нетрудно
видеть, что
(3.139)
(3.140)
F^ = - д"А,1.
9
(3.141)
Подставляя (3.141) в (3.136)-(3.137), получим следующие явные выражения
для токов
f = (ЭМФ°) (Vr + ^ еаЬЛь , (3.142)
§ 7. Магнитные монополи
161
к" = _L ?^?аЬс ПаФа DpФь ?>7Фс. (3.143)
2 д
Формулы (3.142)-(3.143) определяют распределение и динамику (эффективных)
источников электромагнитного поля через 517(2) калибровочные и
хиггсовские поля. В частности, рассмотрим случай, когда модель (3.120)
находится в хиггсовском вакууме, т. е. имеет место (3.117). Тогда из
(3.142)-(3.143) вытекает, что
= МГ*. к"=Г = 0.
Таким образом, в хиггсовском вакууме 517(2) калибровочное поле имеет одну
компоненту (отвечающую "нейтральному" направлению в изотопическом
пространстве, которое связано с генератором 17(1) ненарушенной
симметрии), и эта компонента является свободным электромагнитным полем,
удовлетворяющим уравнениям Максвелла в вакууме. Последний результат имеет
большое значение, поскольку выше было установлено, что точные решения
уравнений поля (3.114)-(3.116) (с конечной энергией) нетривиальны только
в областях с размерами порядка т~х или М-1, а всюду в М4 вне этих
областей полевые конфигурации близки к хиггсовскому вакууму. На больших
расстояниях отличие от вакуума экспоненциально мало, и следовательно,
"издали" полевая конфигурация модели Янга-Миллса-Хиггса будет выглядеть
как система электрических и магнитных зарядов, порождающих (почти)
максвелловское электромагнитное поле.
Найдем магнитный заряд произвольного распределения полей модели.
Подставляя (3.143) в (3.140), получим
N
/1 = -47Г -
9
в силу (3.123). Таким образом, топологический инвариант (3.123),
классифицирующий решения с конечной энергией, в сущности есть магнитный
заряд полевой конфигурации. Учитывая, что константа связи д в данной
модели пропорциональна электрическому заряду (так как W несет ±д),
перепишем полученное соотношение в виде
f^- = -N, N = 0, ±1, ±2,... . (3.144)
47Г
Эта формула является известным условием квантования зарядов, которые
Дирак получил в своей теории магнитных монополей из квантово-механических
соображений. Примечательно, что в модели Янга-Миллса-Хигсса квантование
зарядов имеет классическое топологическое происхождение. Для большей
строгости уточним, что условие Дирака отличается от (3.144)
дополнительным множителем ^ справа, однако последний нетрудно
восстановить, если учесть, что заряд g не является минимальным. Можно
показать, что минимальный заряд равен половине от д.
Модель Полякова-т'Хуфта
Исследуем теперь точные решения уравнений поля (3.114)-(3.116). Покажем
сначала существование решений с произвольным значением топологического
(магнитного) заряда. С этой целью рассмотрим конфигурации, которые всюду
в М4 находятся в хиггсовском вакууме (3.117). Таковыми, например,
являются
6 Зак. 1485
Ф° = (asin(lVx)sin0, acos(lVx)sin6, acosfl),
a ^ abcx л x
(3.145)
162
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
где х> в - обычные сферические углы. На бесконечности 5^ функции (у) (см.
(3.121)) имеют простой вид
и топологический заряд (3.122)-(3.123) равен N. Легко убедиться, что
(3.145) являются решениями уравнений (3.114)-(3.116). При этом
напряженность 517(2) калибровочного поля принимает вид
и подставляя сюда независимые от времени хиггсовские поля (3.145),
находим, что нетривиальны только магнитные компоненты
Сферически симметричное решение (3.148) является магнитным монополем с
зарядом
в начале координат. Поэтому функционал энергии расходится на решениях
(3.145)-
(3.148). Отметим, что точечные монополи (3.148) присутствуют в теории
Дирака (3.136)-
(3.137), однако там присутствуют также сингулярные нити, на которых 4-
потенциал Ам не существует. Качественная особенность решения (3.145)-
(3.148) заключается в том, что 17(1) потенциал (3.129) для него
тождественно равен нулю, а электромагнитный тензор (3.133) порождается
хиггсовскими полями.
Получение регулярных решений с конечной энергией для произвольного N
сталкивается с трудностями. В частности, это связано с тем, что такие
конфигурации не являются сферически симметричными.
Продемонстрируем, однако, существование N = 1 монополей. Основная идея
построения таких решений довольно проста. Рассмотрим опять сингулярные
конфигурации (3.145), которые при N = 1 имеют следующий вид:
Заметим, что поля (3.149) инвариантны относительно одновременных 50(3)
