Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
е (r) е + е' (r) е - 2г)(е, е) ? Ам, е ? М,
т. е. при переходе к фактору такие элементы приравниваются нулю.
Комплексифици-руем этот фактор и тогда получим комплексную алгебру
Клиффорда <Cii3. Пространство Минковского М является подпространством
этой алгебры. В свою очередь спинорным пространством или более полно
пространством дираковских спиноров называется некоторый минимальный левый
идеал V алгебры Клиффорда С|,3, на который эта алгебра действует левыми
умножениями. В частности, имеет место представление
7 :М(r)У-*У (4.2)
элементов пространства Минковского М С Сц дираковскими 7-матрицами V:
е"(г)Л) = 7(еа (r) vA) = 7аАbVB,
168
Глава 4. Геометрии пространства-времени
где
{е", а = 0, 1,2, 3}, т]т = -т?и = = -т]п = 1,
- фиксированный базис М и {гИ} - базис V.
Заметим, что выбор того или иного минимального левого идеала алгебры
Клиффорда в качестве спинорного пространства не однозначен, но
фиксируется заданием стандартной формы матриц Дирака 7" в представлении
(4.2).
Рассмотрим преобразования, сохраняющие представление (4.2). Это пары (/,
ls) преобразований Лоренца пространства Минковского М и обратимых
элементов ls алгебры Клиффорда C|j3 таких, что
im = ismi;\
y(lM(r)lsV)=l3'y (M<g)V).
Элементы 13 образуют группу Клиффорда, действие которой на пространстве
Минковского М однако не является эффективным. Поэтому обычно
ограничиваются рассмотрением ее подгруппы Ls - SL(2, С), которую мы будем
называть спинорной группой. Имеет место соотношение
L = 50(1, 3) = L3/Z2,
где 50(1, 3) - связная группа Лоренца. Матрицы представления I этой
группы на пространстве Минковского М удовлетворяют условиям
detZ = 1, 1°о > 0.
Генераторы спинорной группы Ls, действующей на спинорном пространстве V,
принимают вид
1
hb = 4 [7а, 1ь\-
При этом следует иметь в виду, что, поскольку
СЫ+ Ф -lab,
стандартная эрмитова билинейная форма
(v, v) = v+v
на V не является Ls -инвариантной. В то же время справедливы соотношения
(7°)+=7°, (7°7°)H=7V, (Ъь)+7о = -7о1аь-
Поэтому в качестве La-инвариантной метрики на спинорном пространстве V
следует выбрать билинейную форму
a(v, v) = г;+7%. (4.3)
Рассмотрим теперь расслоение над мировым многообразием 2Г4, слоями
которого служат алгебры Клиффорда С,,з. Его подрасслоениями являются
спинорное расслоение SM -> X* и расслоение YM -> X4 на пространства
Минковского образующих элементов алгебр Клиффорда Сиз. Для них определен
послойный морфизм
7м • Ум х 5М -> 5м
§ 1. Гравитация
169
представления элементов расслоения YM матрицами Дирака на элементах
спинорного расслоения SM. Чтобы сечения спинорного расслоения SM могли
описывать дираков-ские фермионные поля, в частности, чтобы на них был
задан оператор Дирака, расслоение YM должно быть изоморфно кокасательному
расслоению Т'Х над ХА. Это имеет место, если структурная группа
кокасательного расслоения Т'Х и ассоциированного с ним главного
расслоения LX редуцируема к группе Лоренца L и YM ассоциировано с одним
из его редуцированных подрасслоений LhX со структурной группой L, т. с.
YM = MhX = (LhX х M)/L = Т'Х. (4.4)
В этом случае спинорное расслоение SM ассоциировано с L, -главным
расслоением Ph, накрывающим Lh X:
Sm - Sh - (Ph x V)/Ls. (4.5)
Для такой редукции существуют топологические препятствия, но мы их
обсудим позже.
Согласно Теореме 1.7.4 имеет место взаимно однозначное соответствие между
редуцированными главными Г-подрасслоениями LhX расслоения LX и
глобальными сечениями h расслоения
Е := LX/L Х\ (4.6)
типичным слоем которого служит фактор-пространство GLA/L. Следуя
принципам геометрического подхода к теории поля, естественно попытаться
связать с h какое-либо физическое поле.
Групповое пространство GLA диффеоморфно многообразию ШР3 xSJxl",a
групповое пространство L - это ШР3 х Е3. Фактор-пространство GLA/L
диффеоморфно 53 х К7 и представляет собой 2-листное накрытие пространства
МР3 х М7 пространства билинейных форм в М4, приводимых общими линейными
преобразованиями к метрике Минковского т]. Отсюда следует, что расслоение
Е (4.6) изоморфно двулистному накрытию ассоциированного с LX расслоения
Е3 псевдоримановых билинейных форм в касательных пространствах к X*.
Глобальным сечением расслоения Е3 является псевдо-риманова метрика g на
мировом многообразии ХА, отождествляемая в эйнштейновской теории
гравитации с гравитационным полем. Следовательно сечение h расслоения Е
тоже эквивалентным образом описывает гравитационное поле. Мы будем
называть его тетрадным полем (tetrad field).
Таким образом гравитационное поле представляет собой своего рода
хиггсовское поле, отвечающее спонтанному нарушению пространственно-
временных симметрий. Оно обеспечивает необходимое условие существования
дираковских фермионных полей на мировом многообразии.
Если забыть про фермионные поля, нарушение симметрий в теории гравитации
является прямым следствием принципа эквивалентности. Будучи
сформулированным в геометрических терминах, принцип эквивалентности
