Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
С G обеспечивается в моделях Большого объединения хиггсовскими полями,
многообразие вакуумов которых изоморфно G/Н. Множество монопольных
решений тем самым определяются гомотопической группой ir2(G/H),
изоморфной ядру естественного отображения фундаментальных групп яi(H) ->
K\(G), индуцируемого вложением Н С G. Для односвязных групп ir2(G/H) ~
я,(Н), и следовательно, монополи будут с необходимостью возникать в
моделях с группой ненарушенных симметрий, содержащей электромагнитную
группу 17(1). Точные монопольные решения в таких моделях можно построить
с помощью вложения 517(2) монополя Полякова-т'Хуфта.
Глава 4
Геометрии пространства-времени
В настоящее время можно выделить три основных круга калибровочных
моделей, описывающих геометрию пространства-времени. Это калибровочная
теория самой гравитации, многомерные модели Калуца-Клейна и теория
супергравитации. Здесь мы сосредоточим внимание только на краеугольных
элементах этих теорий. В теории гравитации это - нарушение
пространственно-временных симметрий, обусловленное принципом
эквивалентности и присутствием фермионной материи. В моделях Калуца-
Клейна - математическое доказательство того, что метрика многомерного
пространства может быть выражена через метрику и калибровочные потенциалы
на пространственно-временном многообразии. В теории супергравитации это -
определение суперпространства.
§1. Гравитация
В теории гравитации, если не касаться проблемы гравитационных
сингулярностей, пространство-время обычно предполагается 4-мерным
ориентируемым многообразием X4, удовлетворяющим тем условиям, которые мы
договорились требовать от многообразий. Будем называть его мировым
многообразием (world manifold). Оно становится пространственно-временным
многообразием, когда наделено дополнительной структурой (3+ 1)-разбиения,
которая не присуща ему автоматически. Геометрия мирового многообразия -
это геометрия его касательного и кокасательного расслоений ТХ и Т'Х,
ассоциированных с главным расслоением линейных реперов LX из Примера
1.7.7 со структурной группой GL{4, К). Сама по себе эта геометрия,
однако, не очень богата.
Во-первых, касательное и кокасательное расслоения могут быть наделены
общей линейной связностью К из Примера 1.6.3, которая ассоциирована с
некоторой связностью на главном расслоении LX. Во-вторых, структурная
группа GL{4, К) расслоения LX всегда редуцируема к своей максимальной
компактной подгруппе 0(4). Согласно Теореме 1.7.4 отсюда следует, что
всегда существует глобальное сечение gR ассоциированного с LX фактор-
расслоения
LX/0( 4)->Х\ (4.1)
Типичный слой этого расслоения изоморфен пространству римановых
билинейных форм в И4, приводимых общими линейными преобразованиями к
евклидовой метрике. Следовательно глобальное сечение gR расслоения (4.1)
- это риманова метрика на многообразии X4. Таким образом мировое
многообразие X4 всегда может быть наделено римановой метрикой. Однако
риманова метрика и общая линейная связность - это не те объекты, которыми
оперирует теория гравитации.
В дальнейшем предположим для упрощения, что ориентация мирового
многообразия X4 фиксирована и, чтобы не вводить новых обозначений, будем
понимать под LX
§ 1. Гравитация
167
главное расслоение линейных ориентируемых реперов со структурной группой
GU = GL+(4, Ж)
4 х 4-матриц с положительным детерминантом.
Теория гравитации описывает круг явлений, суть которых состоит в так
называемом спонтанном нарушении пространственно-временных симметрий.
Физической первопричиной такого нарушения симметрий является фермионная
материя. Дело состоит в том, что:
• группой симметрий фермионной материи служит группа Лоренца;
• как следует из структуры уравнения Дирака, эта группа не является
внутренней;
• фермионные поля не допускают других преобразований из группы GLA, кроме
лоренцевских и еще растяжений.
На геометрическом языке это означает, что фермионные поля на мировом
многообразии описываются сечениями расслоений со структурной группой
Лоренца и, поскольку эта группа не является внутренней, такие расслоения
должны быть ассоциированы тем или иным образом с главным расслоением LX,
структурной группой которого является группа GL4. Эту возможность и
обеспечивает гравитационное поле.
Предлагаются различные спинорные модели для фермионной материи. Однако
все пока известные фермионные частицы описываются дираковскими спинорными
полями. Эти поля представляются сечениями спинорных расслоений, типичным
слоем которых является пространство дираковских спиноров, и, чтобы они
описывали реальные фер-мионы, на них должен быть определен оператор
Дирака.
Есть разные способы введения дираковских спиноров. Мы будем следовать их
алгебраическому определению, исходя из алгебры Клиффорда.
Пусть М - пространство Минковского с метрикой Минковского г). Построим
тензорную алгебру
Ам = фМп, М° = R, Mn>0 = (g)M,
моделируемую над векторным пространством М. Рассмотрим фактор этой
алгебры по двустороннему идеалу, порождаемому элементами вида
