Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
вращений декартовых пространственных координат х' и внутренних координат
в изотопическом пространстве. Будем искать N = 1 решения с конечной
энергией в классе регулярных 50(3)-симметричных конфигураций (3.17), для
которых (3.149) на пространственной бесконечности имеет асимптотику
(3.18). Очевидным 50(3)-симметричным обобщением (3.17) является анзац
У, =NX, Г2 = в,
(3.146)
(3.147)
Таким образом, электромагнитное поле (3.141) есть
и для компонент магнитного поля (3.134) получим
(3.148)
ц = -4-л- - в полном согласии с (3.144). Этот монополь является точечным
и находится
9
(3.149)
§ 7. Магнитные монополи
163
Условия регулярности в г = 0 и асимптотика (3.18) при г -> оо фиксируют
поведение функций Я и К на границах:
Я(г) < О(адг), К {г) < 1 + О(адг), г -> О, Н{г) -* адг, К (г) -> 0, г
-* оо
(3.151)
Подстановка (3.150) в уравнения поля (3.114)-(3.116) приводит к системе
нелинейных дифференциальных уравнений
г1 К" =К[Н2+К2- 1],
г2Н" = Я
2Я2 + - (Я2 - д2а2г2) 9
(3.152)
где штрихом обозначается производная по радиусу г.
Нетрудно видеть, что в анзаце (3.150) эффективный 17(1) потенциал (3.129)
тождественно равен нулю (Ам = 0). Элек-
годаря вкладу хиггсовских полей имеет вид
1 х'
F,о = 0, Fij = - sijk -9 г
Рис. 16
Решение системы (3.152), удовлетворяющее граничным условиям (3.151),
существует, хотя его нельзя выразить в элементарных функциях.
Оценим поведение полей на бесконечности. На основе асимптотики (3.141)
при г -> оо функции К(г) и h(r) = Я(г) - адг являются малыми, так что в
(3.152) можно пренебречь нелинейными членами. В этом приближении
К" я {да)2 К = М2К, h" к 2Xa2h = rnh и для хиггсовских и калибровочных
полей получаем ожидаемую асимптотику
(3.153)
Ф°
ах
г
1-0
В полном согласии с проведенным ранее анализом физического содержания
модели массивные поля имеют нетривиальное поведение только на расстояниях
порядка М-1
-I
и т
Уравнение Богомольного
Монополь т'Хуфта-Полякова имеет магнитный заряд
164
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
и электрически нейтрален (е = О, поскольку j* - 0 для статических
конфигура-
ций (3.150)), а его энергия Е конечна. Величину Е можно найти численным
интегрированием, причем она существенным образом зависит только от
отношения 4, а
именно:
4жа (А
Е= / -
9 \9
где / - гладкая функция такая, что / ^ 1, и равенство достигается только
в 0 (/(0) = 1). Последнее реализуется при Л = 0 и заслуживает отдельного
рассмотрения.
Прежде всего заметим, что при Л = 0 уравнения поля (3.114)-(3.116)
тождественно удовлетворяются на решениях следующей системы:
К = ±eijkDk<4>a, 0, (3.154)
где хиггсовские и калибровочные поля не зависят от времени. Уравнение
(3.154) называется уравнением Богомольного. Мы по-прежнему будем считать,
что на бесконечности поля стремятся к своим вакуумным значениям (3.117).
Поскольку такая асимптотика вытекает из требования конечности энергии,
которая для статистических полей в калибровке Ад = 0 имеет вид
/л
Е = I d'x{ У(Ф) + Х-
(ДФ)2 + ^")2
условие обращения в нуль константы Л следует понимать как предельный
переход А -> 0, который называется пределом Прасада-Зоммерфельда.
Убедимся, что в данном пределе энергия достигает своего минимального
значения на уравнении Богомольного. Для этого выпишем очевидную оценку
интеграла (3.155) снизу:
Е = [ d'x {V(Ф) + j (F" т eijk D4af ± \ eijkF" Х^фЛ ^
71 J (3.156)
Zijd'x1- eijk Dk(FTj Ф.) = ± j ds{ eiikF^a = ±/m.
Таким образом, ввиду (3.144) в N = 1 секторе для энергии имеем
неравенство
4ж а
Е>
9
(откуда, кстати, следует, что введенная выше функция / > 1).
Равенство в (3.156),
на котором реализуется минимум энергии, достигается для Л = 0 в уравнении
Богомольного (3.154).
Решение в N = 1 топологическом секторе можно выписать в элементарных
функциях. Подставив (3.150) в (3.154), получим систему
гК' = ±КН, гН' - Н ± (К2 - 1). : (3.157)
Отсюда находим
i/Зг
Я = K=-l + (3rcth((3r), (3.158)
sh(/3r)
где /3 - произвольная константа интегрирования.
§ 7. Магнитные монополи
165
Наше рассмотрение ограничилось 517(2) моделью Джорджи-Глэшоу и
простейшими решениями уравнений поля. Поэтому в заключение сделаем
несколько замечаний о возможных обобщениях. Во-первых, (3.150) не
является самым общим 50(3)-симметричным анзацем в N = 1 топологическом
секторе. Для нулевой компоненты калибровочного поля решение можно искать
в виде
Аа0 = J(r) -2.
дг2
Найденное точное решение системы уравнений для функций К, Н, J
(обобщающий (3.152)) описывает так называемый дион - объект, обладающий
как магнитным, так и электрическим зарядами. При этом /г = - а е
произволен.
В реалистических моделях с более общими калибровочными группами также
существуют монополи. Соответствующий топологический инвариант (магнитный
заряд) классифицирует гомотопически неэквивалентные вакуумные
конфигурации хиггсовских полей на пространственной бесконечности 5^. Для
связных полупростых групп G спонтанное нарушение симметрии до подгруппы Н
