Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 75

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 97 >> Следующая

постулирует возможность существования лоренцевских инвариантов на мировом
многообразии X4. Для этого необходимо, чтобы имела место редукция
структурной группы GLA главного расслоения LX и ассоциированных с ним
расслоений к группе Лоренца L. В этом случае согласно Теореме 1.7.3
существуют атласы этих расслоений с лоренцевскими функциями перехода так,
уто при переходах с карты на карту лоренцевские инварианты, заданные в
таком атласе, сохраняются.
Действительно, пусть дано тетрадное поле h. Рассмотрим Фл атлас главного
расслот ения LX, задаваемый некоторым семейством локальных сечений {z?}
расслоения LX, принимающих значения в редуцированном подрасслоении Lh X.
Именно о таком атласе
170
Глава 4. Геометрии пространства-времени
говорится в Теореме 1.7.3. Его функции перехода принимают значения в
группе Лоренца L. Будем обозначать ассоциированные с ним атласы
ассоциированных расслоений тем же символом Фл. В частности, легко
убедиться, что во всяком таком атласе Фл сечение h представляется
семейством функций fh(z((x)), принимающих значения в центре фактор-
пространства GL4/L, а соответствующая псевдориманова метрика д -
метрическими функциями, совпадающими с метрикой Минковского т/. Поля h и
д, записанные в атласе ф'*, таким образом дают пример лоренцевских
инвариантов, о которых говорит принцип эквивалентности.
Заметим, что в физической интерпретации задание атласа расслоения LX
означает фиксацию некоторой системы отсчета, когда в каждой точке х
мирового многообразия X4 восстанавливается репер (тетраду) zf (x)
касательных векторов, определяющий локальную систему отсчета в этой
точке. В частности, традиционная общековариант-ная формулировка теории
гравитации подразумевает выбор только голономных систем отсчета. Хотя
остается проблема, как реализовать такие системы отсчета реальными
физическими приборами. В этом смысле можно сказать, что всякое
гравитационное поле h само определяет некоторое семейство собственных
систем отсчета Фл, в которых его метрические функции сводятся к метрике
Минковского.
Существенно, что собственные атласы Фл тетрадного поля h в общем случае
не являются голономными. Поэтому, если заданы атлас Фл и некоторый
голономный атлас Фт = {ipj} расслоения LX, тетрадное поле h можно
представить семейством GL4 -значных тетрадных функций
которые описывают преобразования между базисами {dx*} и {ha} слоев
кокасательного расслоения Т'Х, соответствующими атласам Фт иф\ В
частности, получаем известное соотношение
но, а с точностью до калибровочных лоренцевских преобразований,
действующих на их индексы а, что отвечает произволу в выборе атласа Фл.
Пусть задано тетрадное гравитационное поле h, а МНХ и Sh - соответственно
расслоение на пространства Минковского (4.4) и спинорное расслоение
(4.5). Определено послойное представление
lh-.rx(r)Sh = (Ph х (M(r)V))/L3 - (Phxj(M<g>V))/L3=Sh, (4.9)
кокасательных векторов к многообразию X4 матрицами Дирака у на элементах
спи-норного расслоения Sk. Говорят, что глобальные сечения спинорного
расслоения Sh описывают дираковские фермионные поля на многообразии X4 в
присутствии гравитационного поля h. Действительно, пусть Ah - связность
на спинорном расслоении Sk, ассоциированная с некоторой связностью на
главном расслоении. LhX, и
h = V'f °4>
dxx = hx{x)ha,
(4.7)
(4.8)
Ясно, что тетрадное поле h представляется тетрадными функциями hx(x)
неоднознач-
dxx = 7 h(dxx) = hx(x)ya
D : j'5h-"T*X(g)F5h,
5,1 s,L
D - (yx ~ АаЬх(х)1аЬЛByB) dxx (r) dA,
§ 1. Гравитация
171
- соответствующий ковариантный дифференциал. Тогда композиция 7hoD
представляет собой дифференциальный оператор первого порядка на спинорном
расслоении Sh:
@>h=lhoD: j'Sh ГХ 0 VSh VSh, (4.10)
Su
• А v А сД / В Acib у A В \
у o^=hc7 B(yx - A xIab By ).
Это оператор Дирака. Здесь использовано то обстоятельство, что
вертикальное касательное расслоение VSh допускает каноническое
вертикальное расщепление
VSh=ShxShy и 7/, в выражении (4.10) - это поднятие
7 h-.rx(r)VSh^VSh,
sh s'-
7h(ha 0 уАдА) = jaAвувдА,
на VSh морфизма (4.9).
Суть спонтанного нарушения пространственно-временных симметрий,
обусловленного гравитационным полем, состоит в том, что для разных
гравитационных полей h и ti представления jh и 7h, не эквивалентны.
Из вида оператора Дирака (4.10) следует, что в общем случае
гравитационное взаимодействие описывается парами (h, Ah) тетрадного
гравитационного поля h и лорен-цевской связности Ah, которая
интерпретируются в духе калибровочной теории как калибровочный
гравитационный потенциал.
Заметим, что вследствие условия эквивариантности всякая связность Ah на
редуцированном подрасслоении LhX может быть однозначно продолжена до
связности 1\ на всем главном расслоении LX. При этом ковариантные
производные тетрадного поля h и соответствующего метрического поля g
относительно связностей, ассоциированных с 1\, равны нулю. Обратно,
связность Г на главном расслоении LX редуцируема к связности на его
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed