Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
возникает из второго интеграла в (3.91) по поверхности X, которая в
данном случае является объединением сфер малого радиуса вокруг ж'\ Тем
самым 5д-параметрическое решение т'Хуфта (3.106), (3.108), (3.109) имеет
инстантонный заряд q.
В заключение покажем, что сингулярные решения т'Хуфта действительно могут
быть устранены калибровочным преобразованием. Без ограничения общности
рассмотрим случай q - 2. Обозначим в (3.109)
"'(1) = Ф(^У i = l2-
При х -> хи очевидно, имеем 0| -> 1, а2 -> 0 тогда как при х -> х2
аналогично о( -> 0, а2 -> 1. При х -> со получаем а2 -> 0. Будем искать
калибровочное преобразование в виде д = д2д,д\, где д" - некоторая
постоянная 517(2)-матрица. Тогда для преобразованного потенциала А' =
дАд~' + gdg~' находим
, in (и , (о (и in . /in in ли ли
А = (1 - о, - a2)gdg + a,g2dg2 + а2д2д,д& 'd (g25, Ч 'д2 'J . (3.110)
Отмеченное выше поведение о, (ж) обусловливает, что при х -> оо потенциал
ведет себя как чистая калибровка А ~ gdg~при х -> ж, он регулярен
1 I <" <'>-1
-Т |г-,Х] ~ 92dg2 ,
а при х -> х2 особенности А1 описываются последним членом в (3.110).
Однако регулярность А' в х = хг можно обеспечить, выбрав постоянную
матрицу
-1 <!> ч М1?-1?)
д. =9i(x2)=---------------.
|ж, - х2\
Таким образом, окончательно получаем, что А' регулярен всюду внутри 5^, а
нетривиальное. значение топологического заряда q = 2 теперь объясняется
поведением на бесконечности А1 ~ gdg~'. В силу свойства (3.87) имеем п[д]
= п[д2д,дх\ = 2. Аналогич-. но строятся ка.п'бропоч! ые преобразования,
устраняющие сингулярности потенциала т'Хуфта для произвольного д.
154
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
§7. Магнитные монополи
Перейдем теперь к рассмотрению классической калибровочной теории в
физическом пространстве-времени Минковского. Как и в предыдущем
параграфе, мы ограничимся случаем калибровочной группы G = SU(2), однако
к полям Янга-Миллса А° добавим хиггсовский сектор, обеспечивающий
спонтанное нарушение калибровочной симметрии.
Скалярное хиггсовское поле Ф" преобразуется по закону
5Ф° = -Л°С?СФЬ
относительно G = SU(2) и описывается хиггсовским потенциалом
У(Ф) = ~ (Ф"Фа - а2)2- (3.111)
Здесь и далее а, Ъ, с, ... = 1, 2, 3 и, как обычно, fabc - еаЬс -
структурные константы и еа(х) - инфинитезимальные параметры
преобразований.
Как уже отмечалось, важную роль играют решения классических уравнений
поля, на которых функционал энергии конечен. Последний определяется как
интеграл по 3-пространству от компоненты Т0° тензора энергии-импульса
системы. Для рассматриваемой модели симметричный (метрический) тензор
энергии-импульса имеет вид
та = -f:xf:x +бакРкр + и+ (афпаф>. - \жлаФ^^ф.). o.i 12)
Получаем
т°0 = vm + ~ [ю2 + №")2 + ФоФ)2 + (аф)2] ,
где г, j, ... = 1, 2, 3, и суммирование по этим индексам проводится без
их поднятия (метрика Минковского 77^ не участвует). Видно, что Т$ ^ 0 и
функционал энергии
Е = j d}xTo
конечен только в том случае, если на бесконечности Т0° -> 0. Последнее
выполняется тогда и только тогда, когда
0, П^ФАО, У(Ф)^0 (3.113)
при |х| -> 00.
Классические уравнения поля для системы Янга-Миллса-Хиггса имеют вид
DvFav = ja, (З.П4)
(АФ"ФГ = -ЛФ"(ФЬФЬ - а2), (3.115)
где
Ja=9tabc{rr ФГФЬ. (3-116)
§ 7. Магнитные монополи
155
Полевые конфигурации, задаваемые равенствами
= О,
(?>"Ф)"=0, У(Ф) = ^(Ф°Ф0 - а2)2 = О,
являются решениями уравнений (3.114)-(3.115) и имеют наименьшую энергию Е
= 0. В соответствии с терминологией, введенной в первой главе, будем
называть такие конфигурации вакуумными. Более специально, калибровочные
поля, удовлетворяющие (3.117), назовем янг-миллсовским вакуумом, а
скалярные полевые конфигурации, являющиеся решениями (3.117), будем
именовать хиггсовским вакуумом.
Тривиальное состояние
Ф° = 0, А1 = 0,
вакуумным не является, и поэтому для выяснения физического содержания
модели поля следует разложить в ряд в окрестности настоящего вакуума,
например
Ф° = а<5", А1 = 0.
Переходя к калибровке
получаем лагранжиан модели в виде
L = - l- G^G^ + Х- aVw^W1 + Х- - АаУ + Lm, (3.119)
где
F^ = d^Al - д"А1, = Al + iA\, G^ = D"W" - Dll=dll +
igA]l,
и з есть лагранжиан взаимодействия, содержащий кубические и более высокой
степени инварианты из ¦ф и W.
Таким образом, мы видим, что данная теория описывает массивную
хиггсовскую скалярную частицу ¦ф с массой т = aVА, комплексное
массивное векторное поле с
массой М = ад, а также безмассовое векторное поле А\. Легко убедиться,
что модель
(3.119) инвариантна относительно калибровочных преобразований
A\^Al-X- V, - euW(3.120)
и, следовательно, можно отождествить А' с электромагнитным полем. При
этом хигг-совские частицы оказываются нейтральными, тогда как векторные
бозоны W^ несут заряд ±д.
Группа Н(Х) преобразований (3.120) является подфуппой исходной
калибровочной группы G(X). Обычно Н называется фуппой точной (или
остаточной) симметрии, до которой спонтанно нарушается G.
Обратимся теперь к общему анализу решений классических уравнений поля
