Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
W. Поэтому ясно, что не всякому топологическому солитону может отвечать
какое-либо солитонное решение самой модели. Однако знание спектра
топологических солитонов позволяет определить множество гомотопически
неэквивалентных классов .всевозможных солитонных решений в модели.
§ 2. Топологические солитоны
107
Приведем примеры некоторых солитонных моделей, начав с размерности d, =
1. В этом случае пара (Dl, 3D') - отрезок с выделенными концами.
Модель кинков
Это двумерная вещественная скалярная модель. В этой модели V = К, W -
точки ±1 в К, и топологические солитоны - это гомотопические классы
отображений отрезка D1 в Е таких, что концы отрезка переходят в ±1.
Поскольку пространство К стягиваемо, ясно, что гомотопические классы
рассматриваемых отображений определяются отображениями границы D1 в точки
±1. Нетрудно проверить, что таких классов всего четыре. Два из них
(<р(оо) = ip(-oo)) соответствуют вакуумному состоянию, а два других
(<р(оо) = - tp(-оо)) - солитонным решениям - кинкам.
Пусть теперь в этой модели <р - комплексное поле или пусть оно снабжено
внутренним индексом а, так чтобы пространства V и W были связными.
Например, если ip - комплексное поле, то V = W = S'. Тогда множество
7г(Dl, S') содержит только один элемент. Однако это не означает, что в
такой модели нет солитонных решений. Например, когда поле р вещественно,
это те же кинки. Но непрерывной деформацией они могут быть переведены
(эволюционировать) в вакуумное состояние, что можно рассматривать как
предпосылку неустойчивости солитонных решений в этой модели. Такие
солитоны называются нетопологическими.
Модель синус-Гордона
Рассмотрим скалярную 2-мерную полевую модель с потенциалом
U(4>) = g(\- cos <р).
Множество вакуумных состояний, когда U(<р'п) = 0, в данном случае счетно:
tp^ = 2ттп, п = О, ±1, ±2, ....
В этой модели V = I и W = Ъ. Множество топологических солитонов этой
модели счетно и параметризуется парой чисел
1 1
т=-<р(оо), п - - (р{ оо),
27Г 27Г
в которые отображаются концы отрезка D'. В частности, для m = ±1, п = 0
солитонные решения имеют вид
ip(x) = 4arctg[exp{±(x - х0)}]. (3.10)
Эти решения топологически неэквивалентны. Можно считать, что они
относятся друг к другу как солитон и антисолитон.
Рассмотрим теперь солитоны в пространствах с размерностью d > 1.
Используя теорему вириада, нетрудно показать, что в этих размерностях в
скалярных моделях с потенциалами U(<р) отсутствуют статические
локализованные решения (хотя топологические солитоны существуют).
Хорошими кандидатами на наличие солитонных решений оказались
калибровочные модели, простейшим примером которых является модель
Нильсена-Олесена.
108
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Модель Нильсена-Олесена
Это модель скалярной электродинамики в (2 + 1)-мерном пространстве-
времени с функцией Лагранжа
25* = ~ {D^ipf - l-g\ip2 - а1)1, (ЗЛ1)
где Dp = - геА/:. Вакуумные поля модели удовлетворяют следующим
уравнениям:
F^= 0, D^ip = 0, ip1 = а2. (ЗЛ2)
Их решения имеют вид
1
= аехр(ш(а;)), = - д^а(х). (ЗЛЗ)
е
Они являются также решениями уравнений поля
D^D^ip = g2(p2 - а)р,
г (3-14)
= - e(p*Dlip - p(D^p)*).
Калибровочными преобразованиями вакуумные решения (ЗЛЗ) могут приведены к
виду <р = а, = 0. Однако, когда поля (ЗЛЗ) используются в качестве
граничных условий для поиска локализованных решений уравнений (ЗЛ4), они
не должны подвергаться калибровочным преобразованиям. Причем, поскольку
определяющим в паре (р. А) вакуумных полей (ЗЛЗ) является поле tp,
топологические солитоны можно классифицировать по гомотопическим классам
именно полей р.
Пространством значений V этих полей является комплексная плоскость Ж2, а
пространством значений W вакуумных полей - окружность S' в V. Поэтому
топологические солитоны модели представляются элементами гомотопической
группы
7г2(Ж2,5',.)=7г1(51,.) = 2.
Класс п 6 Ъ включает отображение S[ -" S', при котором первая окружность
п раз "обертывается" вокруг второй окружности. Для гладких отображений п
совпадает со степенью отображения S' -> S', например,
в2 = ехр (тв{).
Для нахождения солитонного решения уравнений (3.14) выберем калибровку, в
которой А0 = 0, а в качестве граничных условий - вакуумную асимптотику на
пространственной бесконечности. Введем полярные координаты (г, в).
Выберем в качестве граничных условий при г -" оо вакуумные решения вида
п
р = аехр(т0), Аг = 0, Ад = -
гг
Солитонные решения ищутся в форме
р(г, в) = F(r) ехр(гпв), Аа = Аг = О, А0 = А(г).
§ 2. Топологические солитоны
109
При произвольном а дифференциальные уравнения для F(r) и А(г)
аналитического решения не имеют, но численные расчеты подтверждают
существование несингулярного решения с асимптотическим поведением:
где A, F - константы. Заметим, что решения имеют "конечный размер",
поскольку при возрастании г они экспоненциально быстро приближаются к
вакуумной асимптотике.
Модель Нильсена-Олесена является 2-мерным (по пространственной
