Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
особенно важно для физических приложений.
Пусть дано расслоение Y -> X и соответствующие конфигурационное и фазовое
пространства. Рассмотрим квадратичный лагранжиан
г = L о s,
s = Я о г = j'(7rny о г).
(2.65)
Соответствующее отображение Лежандра имеет вид
р{ о L = (yx)2, р2 о L = y2,
(2.66)
Г 2 I 1 Я_ = pxdy Лшх - --(р1)2 + - (р2)2 ш
э з
1
на Q, которые отвечают двум разным решениям
Vi = л/р7, 2/i = - у/р'
L = ^ a.if{y)y'xyi + tf (у)у\ + с(у) ш.
(2.67)
92
Глава 2. Геометрическая теория поля
где а, бис - локальные вещественные функции на F. Соответствующее
преобразование Лежандра имеет вид
PioL = a^yl + b^ (2.68)
и нетрудно показать, что лагранжиан (2.67) является полурегулярным.
Предположим, что пространство связей Q содержит образ 0(F) глобального
нулевого сечения расслоения П -> F.
Отображение Лежандра (2.68) является аффинным морфизмом над F. Оно
индуцирует соответствующий линейный морфизм
L : Т*Х <g) VY - П,
у
Pi °L = a-ff^
где - координаты векторного расслоения (1.48).
Рассмотрим ядро
Ker L = Г-1 (0(F))
отображения Лежандра (2.68). Это аффинное подрасслоение расслоения струй
JlF -> F. Поэтому всегда существует его глобальное^сечение, т. е.
связность Г на расслоении F -> X, принимающая значения в Kerb:
Г : F -> Ker L, (2.69)
a-fK + Ь? = 0. (2.70)
Используя эту связность, лагранжиан (2.67) можно привести к виду
^ = ^(2/а - ri)(yi - Г?,) + с,
соответствующему факторизации (2.20).
Лемма 2.4.4. Найдется линейная векторнозначная горизонтальная 1-форма
а : П -> ТХ <g) VY, (2.71)
у
-i ij и
Ух0<г = °х^, на расслоении Лежандра П -> F такая, что
L о (T\Q = Idg,
Au _jk at'Av' / r\
aij^Uakb = ajb • (2.72)
?
Заметим, что, если лагранжиан (2.67) регулярен, существует единственная
связность (2.69), удовлетворяющая алгебраическим уравнениям (2.70), и
единственная форма (2.71), удовлетворяющая алгебраическим уравнениям
(2.72).
Связность (2.69) и форма (2.71) играют ключевую роль при гамильтоновом
анализе квадратичных лагранжевых систем.
Во-первых, имеет место расщвшвнив конфигурационного пространства
JlY = Кег2ф1т<т, (2.73)
§ 4. Системы со связями
93
Кроме того существует форма <т (2.71) такая, что расщепляется также
фазовое пространство
Во-вторых, при заданных а (2.71) и Г (2.69), рассмотрим импульсный
морфизм
Он удовлетворяет уравнению (2.57) для отображения Лежандра L (2.68).
Обратно, всякий импульсный морфизм, подчиняющийся уравнению (2.57),
дается выражением (2.75). Отсюда можно показать, что всякий гамильтониан
соответствующий согласно (2.56) импульсному морфизму Ф (2.75), является
ассоциированным с лагранжианом (2.67). Более того, все такие
гамильтонианы образуют полное семейство.
Действительно, рассмотрим в случае гамильтониана (2.76) уравнения
Гамильтона (2.48а) для сечений г расслоения П-"1. Они записываются в виде
При этом оказывается, что уравнения Гамильтона (2.78) не зависят от
канонических импульсов г% и имеют смысл своего рода калибровочных
условий. Более того, для всякого сечения s расслоения Y -> X существует
связность Г (2.69) такая, что выполняются
П = KertT^Q.
(2.74)
у
Ф = Г + сг,
=
(2.75)
Я = Ям = p-dy Л <дЛ - Г*л (р* - ^ ^ а'^р-р? - с и,
(2.76)
(2.77)
С расщеплением (2.73) связаны сюръекции
:= рг, : j'Y -> KerL,
У: у\ -> у'х - yl + Ь*),
И
¦9~ := pr2 : JlY -> 1ш<т,
= a°L:yx^ <j\ka(.a^'yi + b?).
Используя их, уравнения Гамильтона (2.77) можно разделить на две части
9* о J s = Г о 5,
(2.78)
и
о j's = a or,
(2.79)
94
Глава 2. Геометрическая теория поля
калибровочные условия (2.78). В этом случае импульсный морфизм (2.75)
удовлетворяет уравнению (2.64):
ФоГо Jls = J[s.
Откуда следует, что гамильтонианы (2.76) действительно составляют полное
семейство.
Интересно отметить, что гамильтонианы из этого семейства отличаются друг
от друга только связностью Г (2.69), а уравнения Гамильтона - только
калибровочными условиями (2.78).
Проиллюстрируем приведенную общую процедуру на примере ряда полевых
моделей. Калибровочные потенциалы
Фазовым пространством калибровочных потенциалов, лагранжевой теории
которых был посвящен §2.2, является расслоение Лежандра
П = }\T'X<g)TX<g) [СхС]'
С С
над расслоением связностей С (1.89). Оно параметризуется каноническими
координатами
(Жл, С, Корасслоение Лежандра П над С, подобно расслоению струй JXC -* С,
допускает каноническое расщепление
П = П+фП_, (2.80)
с
Кл = КА)+КЛ| = +pt?) + l (Кл - КГ)-
Отображение Лежандра, отвечающее лагранжиану Янга-Миллса (2.21), имеет
вид
о, (2.81а)
КА| о Lym = vTffl- (2.81b)
Нетрудно заметить, что КегЬум = С+ и Q = П_. Отсюда следует, что
расщепления (1.92) и (2.80) являются ни чем иным как расщеплениями (2.73)
и (2.74). Поэтому для построения полного семейства гамильтонианов,
ассоциированных с лагранжианом Янга-Миллса LYm (2.21), можно следовать
приведенной выше общей процедуре описания полевых систем с вырожденными
квадратичными лагранжианами.
Рассмотрим в согласии с ней связности на расслоении С, которые принимают
