Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 44

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 97 >> Следующая

значения в КегХ/. Ими, например, являются связности SB (1.95). Для всякой
такой связности построим гамильтониан (2.76):
Нв = К dkp А - р1^ SB(tm)\U - <%ymU,
__ е2 (2.82)
cvjjj mn [uAI \vQ\ I ¦ -1/2
•Щ' M - ~^aG 9ttv9bpPm Pn I 9 I
Он ассоциирован с лагранжианом LYM. Соответствующими уравнениями
Гамильтона являются
0лКА = -KKrir1 + С" ,в1 гГ> - К\у^], (2:83)
8хг" + д"г? = 2 5В?Л) (2-84)
и плюс уравнение (2.8lb).
§ 4. Системы со связями
95
Уравнения Гамильтона (2.84) и (2.8 lb) аналогичны соответственно
уравнениям (2.78) и (2.79). Уравнения Гамильтона (2.8lb) и (2.83),
ограниченные на пространство связей (2.81а), в точности совпадают с
уравнениями Янга-Миллса для калибровочных потенциалов
Разные гамильтонианы Нв и Нв, приводят к разным уравнениям (2.84). Эти
уравнения не зависят от канонических импульсов и представляют собой
дополнительные калибровочные условия
SBoA = ^oj'A
типа (2.78). Причем, для всякого решения А уравнений Янга-Миллса
существует гамильтониан, например, НВ=А такой, что выполняется
соотношение (2.64):
Следовательно гамильтонианы Нв составляют полное семейство.
Электромагнитное поле
Рассмотрим особо электромагнитное поле из Примера 2.2.1 как простейший
случай калибровочной теории, чтобы потом сравнить с ним модель полей
Прока, лагранжиан которой вырожден, но не калибровочно инвариантен.
Ограничимся для простоты случаем, когда X4 - пространство Минковского с
метрикой Минковского rj.
Фазовым пространством электромагнитных потенциалов является расслоение
Лежандра
с координатами (хх, рмЛ). В этих координатах отображение Лежандра,
отвечающее
лагранжиану ЬЕ (2.23), записывается в виде
параметризуемые электромагнитными потенциалами В, ассоциированы с
лагранжианом электромагнитного поля (2.23) и составляют полное семейство.
Для данного гамильтониана Нв (2.86) соответствующими уравнениями
Гамильтона являются
А = жПС о г.
Нв о LYm о J А = J А.
(2.85а)
(2.85Ь)
Как и в общем случае калибровочных полей, гамильтонианы
Нв = p^dkp А шх - p^Sb^w - StEw.
(2.86)
1
Щ: =
вАГ"А = О, дх + д^Гх = дх + д^Вх
(2.87)
(2.88)
96
Глава 2. Геометрическая теория поля
и плюс уравнение (2.85Ь). На пространстве связей (2.85а) уравнения
(2.85Ь) и (2.87) сводятся к обычным уравнениям Максвелла без материальных
источников. В то же время уравнение (2.88) не зависит от канонических
импульсов и играет роль дополнительного калибровочного условия. Это
калибровочное условие однако разнится от тех, что обычно используются в
теории электромагнитного поля. Но, поскольку электромагнитные потенциалы,
отличающиеся калибровочными преобразованиями, трактуются как физически
эквивалентные, уравнение (2.88) можно заменить каким-либо условием,
накладываемым на величину д\г" + д^гх. Например, таким путем можно
воспроизвести условие лоренцевской калибровки
= °-
Поле Прока
Модель полей Прока - это модель массивного электромагнитного поля,
лагранжиан которого отличается от лагранжиана электромагнитного поля
только массовым членом. Он вырожден, но не калибровочно инвариантен.
Поэтому в этом случае заранее неясно, как получить калибровочные условия,
дополняющие уравнения Эйлера-Лагранжа для поля Прока.
Пусть, как и в предыдущей модели, X - пространство Минковского.
Векторные поля Прока описываются сечением кокасательного расслоения Т*Х -
* X, тогда как электромагнитные потенциалы - сечениями аффинного
расслоения, моделируемого над Т'Х. Конфигурационным пространством полей
Прока является аффинное расслоение струй
моделируемое над векторным расслоением
2
(r)Т*Х хТ'Х ->Т*Х. (2.89)
Координатами на нем являются
(хх, k", fc"A),
где по аналогии с электромагнитным полем мы обозначили кИ = хИ обычные
голоном-ные координаты на Т'Х.
Лагранжиан полей Прока на таком конфигурационном пространстве имеет вид
LP - ЬЕ - ~ гп^хк^кхш. (2.90)
8тг
Фазовым пространством полей Прока является многообразие Лежандра
П = Д Т'Х <g) ТХ <S> ТХ х Т'Х
с каноническими координатами (хх, к", р"А). В этих координатах
отображение Лежандра, ^определяемое лагранжианом (2.90), выглядит в
точности как отображение Лежандра ЬЕ:
pl,'X)oLP = Q, (2.91а)
р^Х] о LP = ~ яХаг]^.ЗГ^. (2.91Ь)
§ 4. Системы со связями
97
Отсюда находим, что
Ker LP = \/Т'Х х Т*Х,
Q = f\T'X (r) [КтХ^ .
Следуя общей процедуре описания полевых систем с вырожденными
квадратичными лагранжианами, рассмотрим форму а (2.71):
а °<7 =
где к^х - координаты на расслоении (2.89). Поскольку
2
Im<7 = ДГ*Х х Г*Х,
Кегст = (\/ТХ^ х Т*Х,
можно осуществить расщепление (2.73) конфигурационного пространства
2 2 j't*x = Ф Дт*х,
Т*Х
_ 1 с
- 2 -^л) ^[м-М
и расщепление (2.74) фазового пространства
П =
Дт*х (r) (утх
Т* X \ дД _(/хЛ) . lAtAI
е <з,
Т'Х
р
р^ ' + рч
Опять же согласно общей процедуре рассмотрим связности на кокасательном
расслоении Т*Х, принимающие значения в КегГР. Как и в случае
электромагнитного поля, достаточно ограничиться связностями вида
+ - (д^Вх + 5дВм)9м
где В - некоторое сечение Т'Х. Можно убедиться, что соответствующие
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed