Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонианы ___
Нв = p^dkp А шх - p^Ss xU - Ж*Рш,
1
Жр = + - m ц^к^к",
07Г
являются ассоциированными с лагранжианом LP (2.23) и образуют полное
семейство. Уравнениями Гамильтона для данного гамильтониана Нв являются
4 Зак. 1485
ди\ ^ 2 uv
\Г = - - ТП Т] г",
4ж
д\Г,л + д"гх = дхВ^ + д"Вх
(2.92)
(2.93)
98
Глава 2. Геометрическая теория поля
и плюс уравнение (2.9lb). На пространстве связей (2.91а) уравнения
(2.91Ь) и (2.92) сводятся к уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые
дополняются калибровочным условием (2.93). Последнее можно заменить тем
или иным условием на величину <9дгм + <9мгд, например, условием
лоренцевской калибровки
= 0.
Но, в отличие от случая электромагнитного поля, не все физически
неэквивалентные решения уравнений Эйлера-Лагранжа для поля Прока будут
ему удовлетворять. Оно применимо, например, к волновым решениям.
Глава 3
Топологические характеристики в теории поля
Формализация систем классических полей расслоениями делает возможным
описание глобальных свойств полевых конфигураций с использованием методов
алгебраической топологии.
Эти методы позволяют оперировать с категориями объектов - топологических
пространств, многообразий, расслоений и др., которые, если пытаться
выделить каждый объект, являются необозримыми. Суть их состоит в
установлении определенного отношения эквивалентности объектов в такой
категории и в рассмотрении их классов эквивалентности путем сопоставления
им некоторых алгебраических (групповых) и даже числовых характеристик. В
физических приложениях такие характеристики выступают в качестве
всевозможных "топологических" чисел и зарядов.
Настоящая глава посвящена применению этих характеристик в полевых
моделях: солитонов, монополей, инстантонов и других полевых образований,
обязанных своим существованием нелинейному взаимодействию полей и не
описываемых по теории возмущений.
В этой главе, если специально не оговорено, под расслоениями понимаются
топологические расслоения, а к многообразиям относятся и многообразия с
границей.
§1. Гомотопические группы
В алгебраической топологии основной рассматриваемой категорией является
категория топологических пространств, а отношением эквивалентности в ней
- гомотопическая эквивалентность.
Пусть У и X - топологические пространства и / и /' - непрерывные
отображения Y в X. Эти отображения называются гомотопными, если
существует такое непрерывное отображение д : [0, 1] х Y -> X, что
gl{0}xY = f, д J. {1} х У = /'.
Наглядно гомотопные отображения / и /' можно представить себе как такие,
образы которых /(У) и /'(У) в ! могут быть совмещены друг с другом
непрерывной деформацией через промежуточные образы д({г} х У), г 6)0, 1[.
Пример 3.1.1. Пусть У - окружность 5', а X - плоскость Ж2. Все
непрерывные отображения S1 в Ж2 являются гомотопными. ?
4'
100
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.1.2. Пусть теперь X = М2 \ {0} - плоскость без точки. Тогда
отображения /, f":S[->X, образы которых f(Sl), f"(Sl)
изображены на рис. 6,
представляют собой пример негомотопных отображений. ?
Рис. 6
Топологическое пространство X называется стягиваемым, если его
тождественное отображение на себя Idx гомотопно отображению X в некоторую
свою точку X -" х0 € X, т. е. наглядно, если X может быть непрерывно
стянуто в точку. Примером стягиваемых пространств могут служить евклидовы
пространства И", а нестягиваемых - сферы 5".
Можно показать, что, если пространства X стягиваемо, то всякие два
непрерывных отображения / и /' любого топологического пространства Y в X
гомотопны. Действительно, поскольку X стягиваемо, образ f(Y) первого
отображения / как подмножество X может быть непрерывно деформирован в
точку, а из нее в образ f'(Y) второго отображения в X.
Легко проверить, что понятие гомотопности отображений определяет
отношение эквивалентности на множестве непрерывных отображений
топологического пространства Y в пространство X. Классы эквивалентности,
на которые оно разбивает это множество, называются гомотопическими
классами, и множество этих классов обозначается 7Г(У, X).
В частности, если X стягиваемо, то множество 7г(У, X) для любого Y
состоит из одного элемента.
Пример 3.1.3. Множество тг(Y, X) для Y и X из Примера 3.1.2 счетно.
Гомотопический класс отображения
/ : S1 - R2 \ {0}
определяется тем, сколько раз линия f(S[) "обернута" вокруг точки {0}. ?
Пусть / - непрерывное отображение Y -> X. Непрерывное отображение д : X -
> Y называется гомотопически обратным, если композиция до / гомотопна
тождественному отображению Idy, а / од гомотопна Id*. Непрерывное
отображение, обладающее гомотопически обратным, именуется гомотопической
эквивалентностью. Если существует гомотопическая эквивалентность Y -> X,
то пространства Y и X называются гомотопически эквивалентными.
Очевидно, гомеоморфизм топологических пространств есть гомотопическая
эквивалентность. Примером негомеоморфных, но гомотопически эквивалентных
