Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 51

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 97 >> Следующая

/с;. Они образуют бесконечную свободную группу Вр(Х) относительно
сложения. Причем считается, что (-М) - это многообразие М с обратной
ориентацией. Введем оператор д взятия ориентированной границы компактного
многообразия, считая по определению
Рис. 7
Семейство В можно представить в виде последовательности
(3.20)
НР(В) = Кег др/ Im др+1,
Он отображает ВР(Х) в Bp_t(X).
112
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.3.1. Пусть М на рис. 8.
полый ограниченным цилиндр в
изображенный
В2 э М=
Рис. 8
Его границей является несвязное объединение двух окружностей S, U 5\.
образующих края цилиндра, а ориентированной границей дМ - формальная
сумма этих окружностей, наделенных определенной ориентацией. ?
Пример 3.3.2.. Рассмотрим теперь отображение р этого цилиндра в тор Г2,
получаемое отождествлением его краев (рис. 9).
Рис. 9 Рис. 10
Подчеркнем, что р(М) как образ многообразия с границей - это не тор, а
тор с границей S. Однако его ориентированная граница
др(М) = S, + S2 = S - S = 0.
?
Пример 3.3.3.. Пусть р - отображение цилиндра М в бутылку Клейна К1 в К4,
получаемое тоже отождествлением его краев (рис. 10). Хотя сама бутылка
Клейна - неориентируемое многообразие, р'(М) является ориентируемым
многообразием с границей S и ориентируемой границей
др'(М) = 5, + S2 = 25.
?
§3. Гомологии и когомологии
113
Группы гомологий комплекса В(Х) = {Мр, д} называются группами
ориентируемых бордизмов Clp(X, К). Подчеркнем, что они зависят от
числового кольца К, из которого берутся коэффициенты к±. Так, в Примере
3.3.3 окружность S на бутылке Клейна, будучи циклом dS = 0, является
границей
5 = 0(1/2 р'(М)),
если коэффициенты kt принимают значения в поле рациональных чисел, и 5 не
есть граница, если К = Z - кольцо целых чисел.
Группы ПР(Х, К) являются гомотопическими инвариантами, т. е. они одни и
те же для гомотопически эквивалентных пространств X и X'. Однако группы
бордизмов оказываются не совсем удобными характеристиками, поскольку
могут быть нетривиальными даже для стягиваемого пространства (точки).
Дело в том, что эти группы определяются по всем возможным замкнутым
подмногообразиям, например, вложенным в К", и среди них могут найтись
такие, которые сами не являются границами.
Чтобы более точно характеризовать структуру самого пространства X, можно,
подобно тому как это делается при определении гомотопических групп,
выбрать какой-либо "эталонный" класс подмногообразий. В теории
сингулярных гомологий это - образы всевозможных непрерывных отображений в
топологическое пространство X стандартных р-мерных полиэдров
(симплексов).
Рис. 11
Сингулярные гомологии
Рассмотрим евклидово пространство Мр+1, наделенное декартовой системой
координат. Отметим на каждой координатной оси ж, точку а, с координатой
1. Проведем через все эти точки гиперплоскость
Xй + ... + хр = 1
в Жр+1. Стандартным р -мерным симплексом ар называется пересечение этой
гиперплоскости с положительным ортантом {ж* > 0}. Такой симплекс
представляет собой выпуклый р-мерный полиэдр с вершинами [а0... ар]. В
частности, с0 = [а0] - это точка; сг1 = [ctoOn] - это отрезок (рис. 11,
а); сг2 = [а0а,а2] - правильный треугольник (рис. 11, б);
<7 = [аооао^аз] - тетраэдр.
114
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Граница р-мерного симплекса ар = [а0... ар] образована (р- 1)-мерными
гранями - симплексами
<*Г' = [а0... в;... ар], где означает, что вершина а, удалена.
Ориентированная граница симплекса
ар = [а()а(... ар]
есть формальная линейная комбинация его граней вида
дар = 1)Чао... а;... ар] = У^(-1)У,Р~'.
г г
Например,
a[a0aia2] = [0,02] - [a0a2] + [aoOil-
Прямым вычислением можно убедиться, что ддар = 0.
Пусть X - любое топологическое пространство. Сингулярными р-мерными
симплексами называются пары (ир, /), где
/ : стр ->Х
- непрерывное отображение стандартного р-мерного симплекса ар в
пространство X, т. е. наглядно образы всевозможных непрерывных
отображений р-мерных полиэдров в X. Сингулярной р-мерной цепью называется
формальная конечная сумма
ср = м
сингулярных симплексов с коэффициентами к, из числового кольца К. В
дальнейшем, допуская некоторую вольность, мы будем отождествлять
сингулярный симплекс (a, f) с образом f(a) в X.
Граница сингулярного симплекса задается как формальная сумма
df(ap) = д(ар, /) = 53(-1)>Г', /io-Г1) = Х)(-1)7(*Г') (3.21)
образов граней ар~1 стандартного симплекса <тр при отображении /. Граница
сингулярной цепи, как и выше, имеет по определению вид
дср = 5>вЛ(*Г)
и удовлетворяет условию ддср = 0. В частности, если образ полиэдра f(op)
- многообразие, то оператор границы (3.21) совпадает с оператором взятия
ориентированной границы многообразия.
Сингулярные р-мерные цепи образуют группу Ср относительно операции
формальной суммы, и оператор д - гомоморфизм. Группы сингулярных цепей Ср
и гомоморфизм д составляют цепной комплекс (3.20), группы гомологий
которого называются сингулярными гомологиями НР(Х, К) пространства X с
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed