Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространств служат стягиваемое пространство и его точка.
§1. Гомотопические группы
101
Гомотопическая эквивалентность разбивает топологические пространства на
гомотопические типы и множество таких типов уже оказывается обозримым.
Для этого достаточно фиксировать некоторый набор стандартных пространств
Yt,Y2, ... и характеризовать гомотопический тип всякого топологического
пространства X гомотопическими классами непрерывных отображений Y{ в X. В
качестве таких стандартных пространств выбраны сферы Sn.
Пусть X - топологическое пространство и х0 G X. Пару (X, х0) называют
пространством с отмеченной точкой. Часто, когда конкретный выбор точки
несущественен, пространство с отмеченной точкой обозначают (X, .).
Отображением пространства с отмеченной точкой (Y. у0) в пространство с
отмеченной точкой (X, х0) называется непрерывное отображение f : Y ->¦ X,
такое, что f(y0) = х0. Ясно, что множество таких отображений составляет
подмножество всех непрерывных отображений и на нем определено отношение
гомотопности отображений.
Рассмотрим всевозможные отображения окружности с отмеченной точкой (S',
.). Образами этих отображений являются замкнутые пути в X, выходящие и
входящие в точку х0, и на этом множестве можно ввести операцию
произведения отображений
где у = ехр (га) - комплексная координата, параметризующая окружность S'.
Эта операция наследуется при переходе к гомотопическим классам
отображений (S1, .) в (X, х0) и индуцирует на множестве этих классов
структуру группы. Она называется фундаментальной группой пространства X в
точке х0 и обозначается жх(Х, х0). В частности, фундаментальная группа
стягиваемого пространства тривиальна.
Пример 3.1.4. Группа ж,(Х, .) для пространства X = Е2 \ {0} из Примера
3.1.2 изоморфна группе Z целых чисел по сложению. Элементу п ? Z отвечает
кривая, обернутая п раз вокруг точки {0} в определенном направлении, а
элементу (-п) - кривая, обернутая столько же раз, но в противоположном
направлении. ?
Обобщая определение группы жх(Х, .), рассмотрим n-мерную сферу с
отмеченной точкой (Sn, .) и множество жп(Х, х0) гомотопических классов
отображений (Sn, .) в пространство с отмеченной точкой (X, х0). На жп(Х,
.) тоже может быть определена структура группы, которая называется п-
мерной гомотопической группой пространства X в точке хй. По аналогии
группа жх(Х, .) часто именуется одномерной гомотопической группой, и
формально определяется множество ж0(Х), совпадающее с множеством
компонент связности пространства X. Группы жп(Х, .), п > 1, называются
высшими гомотопическими группами. Они коммутативны.
Пример 3.1.5. Группы жr(Sn), г <п, тривиальны, а ж"(5П) = Z. О
В случае связного пространства X все гомотопические группы жп(Х, .) в
разных точках изоморфны между собой при любом п, и можно говорить о
гомотопической группе ж"(Х) (как абстрактной группе) пространства X без
отмеченной точки.
Пример 3.1.6: Выполняется правило
1т у > 0, 1шг/ ^ 0,
ж"(Х х X') = жп(Х) х жп(Х').
102
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
В частности, для тора Т2 = 5' х S' находим
7Г,(Т2) = MS1) X *-,(5') = Z х Z.
?
Некоторые гомотопические группы, часто встречающиеся в физических
приложениях, приведены в таблице
X 7Г| я-2 тгз
51 = ЕР1 Z 0 0
S2 0 Z Z
53 0 0 Z
ЕР", 7г > 1 z2 MS") MS")
50(4) 0 Z (c) Z
50(3) z2 0 Z
U(n), п > 1 Z 0 Z
Топологическое пространство X называется к-связным (0 ^ к < оо), если все
гомотопические группы тг"(Х) с п ^ к тривиальны. Это эквивалентно тому,
что образ всякого непрерывного отображения п-мерной сферы Sn в X при п ^
к стягивается в точку. Например, из таблицы видно, что сфера 52
односвязна, т. е. любая замкнутая кривая на сфере стягиваема в точку.
Пусть У - топологическое пространство с гомотопическими группами
(7г"(У)}, а X - топологическое пространство с гомотопическими группами
(7г"(Х)}. Всякое непрерывное отображение / : Y -> X индуцирует
гомоморфизмы
/; : тгп(У) тгп(Х) гомотопических групп. Если отображения
f,f:Y-+X
гомотопны, то /* - /'* при любом п. Если / - гомотопическая
эквивалентность, то /* - изоморфизмы.
Таким образом, топологические пространства, принадлежащие одному и тому
же гомотопическому типу, имеют одинаковый набор гомотопических групп.
Непрерывное отображение / топологического пространства Y в топологическое
пространство X называется слабой гомотопической эквивалентностью, если
гомоморфизмы
/"* : тг"(У) хп(*)
являются изоморфизмами при любом п. Однако сам по себе изоморфизм всех
гомотопических групп пространств X и Y не гарантирует даже слабую
гомотопическую эквивалентность этих пространств, поскольку, может не
существовать непрерывного отображения У в X, реализующего этот
изоморфизм.
§ 1. Гомотопические группы
103
Гомотопические группы являются примером тополого-алгебраических
характеристик, которые постоянны на слабо гомотопически эквивалентных
пространствах.
Естественно возникает вопрос о существовании пространства с наперед
