Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
заданными гомотопическими группами. Ответ положителен в подкатегории
клеточных пространств.
Клеточным пространством X называется отделимое топологическое
пространство, наделенное клеточным разбиением, т. е. разбиением
X = Ue;, ei П е, =0, i Ф j,
г
на множестве элементов которого {е} определена функция d(e) с
натуральными значениями такая, что для каждого элемента е этого разбиения
существует непрерывное отображение (Де)-мерного шара Dd(e) в X с двумя
свойствами:
• оно изоморфно отображает внутренность шара Int Dd(e) на е;
• оно отображает границу sd{e)~' шара Dd(e) в объединение элементов
разбиения, на которых d принимает значения, меньшие d(e).
Элементы клеточного разбиения называются клетками.
Пример 3.1.7. Каноническое клеточное разбиение сферы 5" состоит из 0-
мерной клетки - некоторой точки х ? S" и n-мерной клетки Sn \ {а;}. ?
Теорема 3.1.1. Каковы бы ни были группа G, и абелевы группы G2, G3,
..., су-
ществует связное клеточное пространство X с тгп(Х) = Gn (п = 1, 2, ...).
?
Приведем утверждения, которые позволяют в теории гомотопий вместо всей
категории топологических пространств ограничиваться часто подкатегорией
клеточных пространств, а именно:
• всякое компактное многообразие гомотопически эквивалентно конечному (по
числу элементов разбиения) клеточному пространству;
• для всякого топологического пространства X существует его клеточная
аппроксимация, т. е. клеточное пространство, слабо гомотопически
эквивалентное X.
При определении гомотопических групп мы рассматривали гомотопические
классы отображений пространства с выделенной точкой в пространство с
выделенной точкой. Обобщая, можно определить гомотопические классы
непрерывных отображений пары (Y, U) пространства Y и его подмножества U в
пару (X, А) топологического пространства X и его подмножества А, при
которых U отображается в А. Если в качестве Y взять шар D', а в качестве
U - его граничную сферу S'~l с выделенной точкой s0 ? S'~l, то
гомотопические классы отображений пары (D', S'~', s0) с выделенной точкой
s0 в пару (X, А, х0) с выделенной точкой х0 ? А С X образуют при i > 1
группу, которая называется относительной гомотопической группой 7г,(Х. А,
х0). Она коммутативна при г > 2.
Если А = х0, то относительная гомотопическая группа тгг(Х, х0, х0)
совпадает с обычной гомотопической группой тгДХ, х0). Действительно, в
этом случае отображение D' в X, при котором сфера S'~l переводится в
точку х0, можно представить как композицию канонического отображения D' -
* S' (при котором S'~[ стягивается в точку) и S' -> X. Гомотопические
классы последнего и образуют группу тг,(Х, .).
Существует связь между гомотопическими группами тг; (X, А, х0), л, (X,
х0) и 7Ti-t(A, х0). Она задается следующими тремя гомоморфизмами.
104
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Непрерывное отображение / пары с выделенной точкой (X, А, х0) в (X1, А,
х'0) индуцирует гомоморфизм
/,* : 7г{(Х, А, х0) -> 7Г;(Х', А', х0) относительных гомотопических
групп. Поэтому отображение
X > X, Xq > A, Xq > Xq
индуцирует гомоморфизм
j : тг,(Х, ж0) -" 7Г;(Х, Л, z0). (3.1)
Включение А -> X порождает гомоморфизм
г : тгДЛ, ж0) -" 7г;(Х, ж0). (3.2)
Наконец, всякое отображение
f X, 5'"' ->4, s0 ^ х0,
представляющее собой элемент из 7Г;(Х, А, г0), включает отображение
границы
df = /|ов; : 5 -н> A, s0 > х0.
Поскольку гомотопным отображениям / соответствуют гомотопные отображения
границы, всякому элементу а группы 7г;(Х, А, х0) соответствует некоторый
элемент да группы 7Г{_,(.4, х0). При этом произведение в группе 7г;(2Г,
А, х0) содержит в себе произведение гомотопических классов отображений
границы, так что отображение
д : 7Г;(Х, А. х0) -> 1Г;_,(А, х0) (3.3)
является гомоморфизмом групп.
С помощью гомоморфизмов (3. ]), (3.2), (3.3) можно записать
требовательность гомотопических групп для пары (X, А)
... -^ 7Т;(А, х0) -U 7Г{(Х, х0) 1Г{(Х, А, х0) -?-> iTi-i(A, х0)
-> .. • , (3.4)
Причем эта последовательность точна, поскольку ядро последующего
гомоморфизма
совпадает с образом предыдущего гомоморфизма, а именно:
Ker<9 = Imj, Kerj = 1шг, Ker г = Im<9.
Пример 3.1.8. Если X стягиваемо, то тг{(Х, х0) = 0, i > 0, и Imj = 0, а
значит, Кег д = 0 и
7Г,(Х, А, Х0) = 7Tj_ [ (.А, х0).
?
Пример 3.1.9. Рассмотрим в качестве пары (X, А) расслоенное пространство
X = tl А некоторого локально тривиального расслоения 7г : tl А -> bs А и
его слой А = V через точку р Е V С НА. Имеет место изоморфизм
7Г" (tl А, V, р) - 7r"(bsA, 7Г(р)), п > О,
§1. Гомотопические группы
105
с учетом которого последовательность (3.4) принимает вид
... -^7Г;(У, р) -Uir;(tlA, р) -^(bsA, 7Г(р)) ^7Г;_,(У, р) > .
. .
... -^Tr,(bsA, тг(р)) -^тг0(У, р) 7r0(tl А, р) 7r0(bs А, тг(р)) -> 0.
(3.5)
Последовательность (3.5) называется гомотопической последовательностью
расслоения А и будет использована в ряде моделей. ?
Пример 3.1.10. Накрытием называется локально тривиальное расслоение над
связной базой, слои которого являются дискретными пространствами.
