Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Структурная группа накрытия дискретна. Расслоенное пространство накрытия
называется накрывающим пространством и предполагается связным. Все слои
накрытия, как локально тривиального расслоения, имеют одну и ту же
мощность. Она называется числом листов накрытия. Накрытие с числом листов
больше 1 нетривиально. Действительно, тривиальное расслоение гомеоморфно
произведению базы на слой. Поэтому оно не может быть связным, если слой
дискретен и состоит более чем из одной точки.
Пусть А - накрытие с дискретной группой G. Рассмотрим для такого
расслоения точную последовательность гомотопических групп (3.5).
Поскольку всякий его слой V - дискретное пространство, а база X и
расслоенное пространство tlA связны, имеем
тг"(И, р) = 0, п > 0; тг0(У, р) = V,
7r"(tl А, р) = 0, тг0(Х, 1г(р)) = 0, р G V С tl А.
В результате точная последовательность (3.5) распадается на короткие
последовательности
0-> TT"+1(tlA, р)-> тг"+,(Х, тг(р))-> 0, п > 0, (3.6)
0 -> Tr,(tlA, р) -> 7Г|(Х, 1г(р)) -> V -> 0. (3.7)
Последовательность (3.6) устанавливает, что все высшие гомотопические
группы tl А и X изоморфны. Из последовательности (3.7) вытекает, что
отображение
7T,(tl А, р) тг,(Х, тг(р)) (3.8)
- вложение, а морфизм
тгДХ, ж(р)) -> тг0(И, р) = V (3.9)
- проекция. Из последовательности (3.7) следует также, что нетривиальное
накрытие
не допускает глобального сечения. Действительно, если s - глобальное
сечение, то
композиция отображений 7г о s = Idx порождает изоморфизм групп
тг,(X, 7Г(р)) 7Г,(tl А, р) ^ тг,(X, 7Г(р)).
Но если 7г,(tl А, р) и 7г,(Х, 7г(р)) изоморфны, то в силу точности
последовательности (3.7) слой V состоит из одного элемента, т. е.
накрытие А - тривиально. ?
106
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
§2. Топологические солитоны
Физический солитон можно наглядно представить себе как локализованный
само-подцерживаюгцийся волновой пакет, образованный в результате баланса
двух конкурирующих явлений - расплывания волнового пакета вследствие
дисперсии (зависимости скорости распространения волн от их длины) и
сжатия пакета вследствие нелинейности. Общепринятое математическое
определение солитонов до сих пор отсутствует. Разные авторы предлагают
свои не совсем совпадающие варианты. Например, различают солитоны и
уединенные волны, локализованность определяют в терминах самих волновых
полей и в терминах плотности энергии, требуют или не требуют
пространственно-временную зависимость плотности энергии вида Е(х - ut) и
т. д.
В теории поля, исходя из того, что элементарные частицы в природе также
предста-вля'ют собой как бы локализованные пакеты энергии, усматривают
определенное соответствие между классическими солитонными решениями и
состояниями, описывающими протяженные частицы в квантовой теории поля.
Оно устанавливается процедурой "квантования солитонов" на основе
квазиклассического разложения.
Разработано несколько эффективных и сложных методов исследования решений
нелинейных волновых уравнений. Однако наша цель другая -
продемонстрировать применение тополого-алгебраических методов для анализа
нелинейных полевых конфигураций. Для этого достаточно использовать один
из признаков локализованных полевых конфигураций, а именно, что их
пространственной асимптотикой служат вакуумные классические поля.
Последние ищутся как решения уравнений поля, минимизирующие функционал
энергии модели. Причем перенормировкой на константу функционал энергии
всегда может быть сделан таким, что минимальное значение энергии будет
равно нулю.
Пусть V - пространство, в котором могут принимать значения волновые
функции р, описывающие локализованную полевую конфигурацию на (d + 1)-
мерном пространстве-времени Md х Ж. Пусть W - подпространство V значений
вакуумных полевых функций. Ограничимся случаем статических полей. Тогда
поле р представляет собой отображение ld в V такое, что при присоединении
к Md бесконечноудаленной сферы и непрерывном продолжении <р на 1
последняя будет отображаться в W. В ходе эволюции полевой конфигурации
отображение р может меняться, но при этом будет оставаться гомотопным
исходному. Это побуждает характеризовать полевую конфигурацию
гомотопическим классом отображения р, который не зависит от ее
непрерывной деформации.
С другой стороны, рассмотрим всевозможные непрерывные отображения р пары
(Dd, Sd~l) из d-мерного шара Dd (гомотопически эквивалентного
пространству Ed с присоединенной сферой S'!j1) и его границы Sd~l в пару
(V, W). Назовем гомотопические классы этих отображений топологическими
солитонами. При d > 1 они представляются элементами относительной
гомотопической группы 7гd(V, W), а если пространство V стягиваемо, то
элементами гомотопической группы 'Kd_i(W). Случай d = 1 требует
специального рассмотрения (см. ниже) из-за особого определения
ГРУПП 7Г0.
Таким образом, спектр топологических солитонов определяется только
размерностью пространства-времени и гомотопическим типом пространств V и
