Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
размерности) релятивистским аналогом модели Гинзбурга-Ландау поля
куперовских пар в сверхпроводниках, когда температура ниже критической,
сверхпроводящая система симметрична вдоль оси г, и солитонные решения
(3.15) отвечают возникающим в такой системе трубкам тока.
Можно рассмотреть модель (3.11) при d = 3, т. е. в реальном пространстве-
времени. Однако, поскольку
топологические солитоны в такой модели отсутствуют. В поисках солитонных
решений в (3 + 1)-мерном пространстве-времени следует обратиться к
неабелевым калибровочным моделям.
Модель Полякова-т'Хуфта
Это SU(2) калибровочная модель изотриплета скалярных полей <ра, а = 1, 2,
3, с функцией Лагранжа
Вакуумные поля модели удовлетворяют тем же условиям (3.12), что и в
модели Нильсена-Олесена. В частности, <ра<ра - а2, откуда следует, что
пространство значений вакуумных полей W представляет собой сферу S2 в
изопространстве V = Ж3. В результате топологические солитоны модели
образуют группу 7Г,(52) = Z.
Модель обладает статическим солитонным решением при п = 1, которое в
калибровке Aq = 0 ищется в виде
п А
Aq = А{г) -*¦-----1-- ехр(-ear)
er s/r
А
(3-15)
тг(52, S') = 7г2(5!) = О,
(3.16)
ipa = -<p(r), А° = ea'jx:' А(г) г
(3.17)
с асимптотикой
1
ip(r)
а.
А(г)
(3.18)
дг
В пределе А -> 0 решение можно получить в аналитической форме
а 1
Mr) = -
а
(3.1.9)
ih(gar) аг'
gr sh(gar)
110
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Используя гомотопическую классификацию, можно сделать и некоторые общие
выводы о возможном спектре солитонов в 4-мерных моделях в зависимости от
их свойств симметрии.
Пусть G - группа всех глобальных преобразований симметрий модели. Пусть
ip(x) - некоторое вакуумное поле. Тогда для любого д 6 G поле д<р(х) -
тоже вакуумное. Это означает, что если w0 ? W, то для любого д ? G
элемент w = gw0 тоже принадлежит W, и W = G/H, где Н - подгруппа G,
оставляющая инвариантным элемент w0. Она называется стабилизатором w,,.
Например, стабилизатором элемента w = gw0 является подгруппа дНд~'. Если
Н Ф G, группа G не оставляет инвариантным ни один элемент из W и,
следовательно, ни одно вакуумное состояние.
Если пространство V стягиваемо, то спектр топологических солитонов модели
определяется элементами гомотопической группы ж2(G/H,.). Если Н - связная
подгруппа топологической группы G, то G -+ G/H - расслоение Серра со
слоем Н. Для такого расслоения имеет место точная последовательность
гомотопических групп
... > 7Г2(G) > 7Г2(G/H) > 7Г,(Я) >7r,(G) > . . . .
Если G - группа Ли, то 7t2(G) = 0 и гомоморфизм
7Г 2(С/Я)-ТГ,(Я)
- вложение. Поэтому для существования топологических солитонов, в
частности, необходимо, чтобы 7Г{(Н) ф 0, т. е. чтобы группа Н не
сводилась к единичному элементу, не была дискретна или односвязна. Группа
Н не должна быть инвариантной подгруппой Ли в G, поскольку в этом случае
G/H - группа Ли и 7Г2(G/H) = 0. Например, если G - абелева, то всякая ее
подгруппа является инвариантной и топологические солитоны в абелевой
калибровочной модели при d = 3, как мы отмечали на примере модели
Нильсена-Олесена, отсутствуют.
Для определения спектра топологических солитонов полезно также отметить,
что если группа Ли G односвязна (т. е. 7ГДС) = 0), то вложение
7Г2(G/H) - 7Г,(Я)
является также проекцией и, следовательно, 7Г2(G/H) = 7Г[(H).
§3. Гомологии и когомологии
Гомологии комплексов
Основные тополого-алгебраические характеристики, применяемые в физических
моделях, определяются теориями гомологий и когомологий.
Существуют различные теории гомологий, но для них всех характерна
следующая алгебраическая конструкция. Пусть
В = {ВР, др,р = 0, ±1,...}
- семейство абелевых групп Вр и гомоморфизмов
др : Вр-+ Вр_ 1
§3. Гомологии и когомологии
111
таких, что др о др+1 = 0. Последнее условие эквивалентно утверждению, что
образ Im<9p+1 гомоморфизма <9Р+Ь т. е. др+1Вр+1, содержится в ядре Кег<9р
отображения др, т. е. в д~1 (0 ? Вр_,). Проиллюстрируем это рисунком 7.
в которой композиция любых двух последовательных морфизмов равна нулю.
Такая последовательность называется цепным комплексом. Элементы группы Вр
комплекса называются р-мерными цепями, из них элементы из Кег<9р
называются р -мерными циклами, а элементы из Im<9p+1 - р-мерными
границами. Поскольку др - гомоморфизм, 1т0р+, - подгруппа группы Кег<9р и
определена фактор-группа
которая называется р -мерной группой гомологии комплекса В. Два цикла из
Вр принадлежат одному и тому же смежному классу из НР(В) тогда и только
тогда, когда их разность есть некоторая р-граница.
Из теорий гомологий в физических приложениях нам понадобятся только так
называемые сингулярные гомологии.
Пусть X - n-мерное дифференцируемое ориентируемое многообразие. Определим
следующий цепной комплекс В(Х). Рассмотрим ориентируемые компактные р-
мерные подмногообразия М многообразия X". Выберем p-цепями комплекса В(Х)
всевозможные формальные конечные суммы М = kMi с числовыми коэффициентами
