Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
когерентным светом получается непосредственно спектральное распределение
источника. Докажите это при помощи простой установки.
РЕШЕНИЕ
Введение
После прохождения через объект ОЬ электромагнитная волна имеет амплитуду
вида s4- = А (х) е>ф(-х\ Для описания структуры волны требуется как
вещественная, так и комплексная ампли-
ЗАДАЧА S3
ДИФРАКЦИЯ
193
туды. Большинство приемников (фотопластинки) чувствительны к измененйям
освещенности, но не дают информации о фазе. Метод, предложенный здесь,
позволяет полностью восстановить волну 2.
I. Регистрация голограммы
Опорная волна отклоняется на угол
Э = (п - 1 )а.
Эта волна 2о имеет постоянную амплитуду Ло- Ее фаза Фо(х) изменяется
линейно как функция х в плоскости я. Имеем
Ф0(д)=-^е*. (О
Здесь во всех задачах начало отсчета фазы выбирается на оси
Ох и предполагается, что лучи, интерферирующие в точке О, находятся в
фазе. Волны, которые не пересекли ось Ох, имеют положительную разность
фаз, а волны, которые пересекли ось Ох, имеют отрицательную разность фаз.
Результирующая амплитуда в точке Р(х) определяется выражением
А^е~!Ф° (х) -f А (х) е'ф{х). (2)
Результирующая интенсивность будет
/ (х) = [Лсе_/Ф"(д:) + А (х) е,ф <*>] [Л0е+/Ф"<*> + А {х) е~'ф <*>],
I (х) = Ло + А2 (х) + 2Л0Л (х) cos [Ф0 (х) + Ф (х)]. ^
Примечание. Фаза Ф(х) содержится в выражении для функ-
ции 1(х). Изменение функции Ф(л:) влечет за собой изменение периода или
положения полос. Изменение функции А(х) изменяет контрастность полос.
II. Амплитуда света, пропускаемого фотопластинкой
Пластинка подвергается воздействию освещенности Е(х)
Е(х) = 1(х) - интенсивность колебаний. (4)
Эта пластинка проявляется, затем освещается параллельным пучком,
перпендикулярным ее поверхности и имеющим амплитуду, равную единице.
Вспомним, что плотность почернения пластинки определяется
как
D = y\nE. (5)
200 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА ЗЯ
С другой стороны, имеем
D = In /падающег° св?та = In -1- = In 4-. Ф)
^пропущенного света * *
где Т - коэффициент пропускания, a t - амплитуда света, пропускаемого
голограммой.
Приравнивая (5) и (6), находим
Цх) = 1{х)-ч!К (7)
Если интенсивность опорного пучка много больше интенсивности пучка,
проходящего через объект, то имеем условие
Л0 " А (х), (8)
которое позволяет преобразовать выражение для функции t(x):
t{x) = I {х)-у12 = {Al + А2 (х) + 2Л0Л (jc) cos [Ф0 (х) + Ф (х)]}~У12 =
= Л2"№) -1 Л0""-2Л2 (х) - уА^~] А (х) cos [Ф0 (х) + Ф (х)] =
= Л'^/2) {Л2 - | АЦх) - уЛ0Л (х) cos [Ф0 + Ф]} ,
Разделив выражение для t(x) на постоянный множитель - 2АйУ~2, находим
/(*)" - 2Л2 + уЛ2 (х) + уЛ0Л {х) е1 (ф"+ф> -)- уЛэЛ (х)е~! (ф°+ф). (9)
Тогда это уравнение можно записать
t(x) = - 2 Л2 + у Л2 (л:) + уЛое'(r)0 • Л (х) е,Ф {х) +
+ уЛ0е_/ф° • Л (х)е~1Ф[х>. (10)
Примечание. Коэффициент у для фотопластинки содержится в последних трех
членах (10). Амплитуда волны 2, а именно А(х)е,ф{х\ содержится
непосредственно в трех членах. Регистрация голограммы может быть в
принципе произведена с любым когерентным источником, однако отношение
Л0/Л(х) очень велико, поэтому необходимо использовать лазер, чтобы
величина Л (х) не была слишком мала.
111. Восстановление формы объекта
Восстановление осуществляется легко и может быть проведено без оптической
системы.
Голограмма на пластинке освещается плоской когерентной волной о0, фронт
которой параллелен пластинке (фиг. 38.3). Распределение амплитуды в
плоскости пластинки определяется функцией t(x), и нам нужно знать
преобразование Фурье для амплитуды.
ЗАДАЧА 38
ДИФРАКЦИЯ
201
Четыре члена функции t(x) соответствуют следующим пространственным
частотам:
- 2 Лд + у А2 (х) -> частота О, уАйА (х)е,ф{х) -> частота +"0=+т-. (11)
А
_9
А
уЛ0Л (лг)е~/ф(*>-"-частота -и0 = -
Результаты представлены на фиг. 38.3. Имеем
прямую волну сг0 с амплитудой - 2Ло + уА2 {х), распространяющуюся под
углом 0 = 0;
волну о+1, образующую угол + 0 с осью Ох и воспроизводящую волну 2 с
точностью до коэффициента уЛ0; волну о_1, имеющую такую же амплитуду, как
и волна о+1, но противоположную фазу (распространяется под углом -0).
Чтобы понять, как голограмма воздействует на плоскую волну о, вспомним,
что призма, "перевернутая вершиной вниз" с
Фиг. 38.3
X, 1 з 1
1 ! 1 < 1 ,
1 ( | С
1
6
пучок на угол 0 и
'+1
+ (2п/Я)0х (фиг. 38.4). Тогда третий член в (10) можно интер
претировать как амплитуду света, идущего от объекта и пропускаемого
упомянутой выше призмой.
Прямой пучок света, распространяющийся под углом 0 = 0, является очень
ярким, в то время как пучок света, дифрагиро-
202
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 3S
вавший под углом +0, сильно ослаблен и восстанавливает форму объекта.
Увеличение. Если голограмма освещается светом с длиной волны К',
отличающейся от длины волны К, используемой для
получения голограммы, то волны o+i и о-1 распространяются под такими
углами +0/ и -б7, что
0 0'
(из теории решеток). (12)
Видно (фиг. 38.5), что размеры объекта изменяются непосредственно с
