Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Дифракционная решетка Фраунгофера имеет ЗЛ/- -f- 1 штрихов, которые
считаются бесконечно тонкими, в результате чего можно считать, что
дифракция света происходит одинаково на всех щелях. Закрываем одну щель
из трех (включая первую и
JLJJJLJ
0 11 4 5 7 8 10
Фиг. 40.1
последнюю). Определите условия для максимальной интенсивности и найдите
выражение для относительных интенсивностей, когда N становится
бесконечным.
РЕШЕНИЕ
I
Пронумеруем щели от 0 до 3N (фиг. 40.1). Все амплитуды дифрагированного
света одинаковы. Разность фаз от одной щели до другой изменяется на
2nd sin i ф- Я-'
если взять начало отсчета на щели 0. Нужно определить сумму ехр (- /ф) +
ехр (- 2/ф) -f ехр (- 4/ф) -f ехр (- 5/ф) + ...,
ЗАДАЧА 40 ДИФРАКЦИЯ 213-
которая может быть записана как разность между двумя другими суммами.
Первая сумма получается рассмотрением всей-решетки:
3 N
1 - ехр [- / (М + 1) ф]
Л ехр (- /Яф) = -
1 - ехр (- /<р)
о
_ ехр [- / (3jV + 1) ф/2] ехр [/ (3/У + 1) ф/2] - ехр [- / (3/У + 1) ф/2]
_ ехр (- /ф/2) ехр (/ф/2) - ехр (- /ф/2)
-е,р(-)ЗАГ)-| 8'"(31+^/2.
Вторая сумма обусловлена закрытыми щелями:
3W
Z, ч 1 - ехр [- /3 (N + 1) ф]
^ ехр ( /Зяф) =-------------гП-1Л-т-^-==
= ехр (-}3N^)
Р \ J 1 2) sin Зф/2
Результирующее колебание определяется соотношением / ."д. Ф X Г sin
(3N + 1) ф/2 _ sin 3 (N + 1) ф/2]
Р V ' 2 JL sin ф/2 sin Зф/2 J'
и интенсивность пропорциональна квадрату выражения в квадратных скобках,
которое обозначим через А.
Максимумы получаются для:
а) ф/2 = Кл (К - целое число). Фазы колебаний, исходящих из щелей 1 и 2,
различаются на 2л. Все испущенные волны находятся в фазе:
Л = ЗМ + 1 -(N + 1) = 2/V,
/~4М2.
б) ф/2 = {(3/С + 1)/3}л. Фазы колебаний, исходящих из щелей 1 и 2,
различаются на 2л/3, а из щелей 1 и 4 - на 2я:
^___ sin (ЗА/ + 1) я/3 sin (N + 1) я
sin я/3 sin я
Во втором члене заменим л на л - е:
sin [(/V + 1) (я-е)] sin [(/У + 1)я- (/V + l)ej
В =
sin (я - 8)
Устремим е к нулю:
если N четное число, то В-^/V+l, А - 1 - (/V+ 1) =¦¦ = -N,
если N нечетное число, то В -> - (/V + 1), А = -1 -J- jV -j- -h 1 = N.
214
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 40
Во втором случае / ~ N2.
в) ф/2 = {(ЗА + 2)/3}я. Фазы колебаний, исходящих от щелей 1 и 2,
различаются на 4я/3, а фазы из щелей 1 и 4 - на 4я.
Рассуждая, как в п. б, покажем, что
/~ N2.
На фиг. 40.2 изображены результирующие значения амплитуды для колебаний
света, исходящего из щелей 1 а 2 в случаях а, б и в.
Фиг. 40.2
Набор щелей 1 в 2 образует "базис" периодической решетки, которая
полностью получается за счет ряда трансляций на 3d. Эта задача дает
простую модель, которая полезна при анализе кристаллических структур,
элементарные ячейки которых содержат базис, построенный из нескольких
атомов.
II
Эти результаты сразу получаются при использовании преобразования Фурье.
Мы знаем, что преобразование Фурье для разложения Дирака в ряд с периодом
р есть разложение Дирака в ряд с периодом l/р (приложение А).
Рассмотрим последовательно решетку с периодом р и решетку с периодом 2>р.
Амплитуды дифрагированного света изображаются на фиг. 40.3 и фиг. 40.4
соответственно.
Амплитуда света пропорциональна поверхности зрачка; таким образом, в
данном случае она пропорциональна числу щелей. Пусть А будет амплитудой
света, дифрагировавшего на решетке с частично закрытыми щелями:
А = А1 - А2.
Значения функции / приведены как ординаты на фиг. 40.5. Находим:
интенсивность главных максимумов ~[(ЗМ+1) - (N + _|_ I)]2 =
интенсивность вторичных максимумов ~[М+ I]2 " N2.
ЗАДАЧА 4D
ДИФРАКЦИЯ
1- 3N+1
Фиг. Т'Т'ГГТГГ 1 1/р 2/р и 40.3 1 ^2 Л/+/ ТГГТТТ"
Фиг. 40.4
I
С2N)2
1. (/V+/)2
0 ± А. ±
Jp Jp р
Фиг. 40.5
¦216
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 41
ЗАДАЧА 41
Фазовая решетка
(Рекомендуется сначала решить задачу 39.)
Рассмотрим металлическую поверхность, на которой прочерчены параллельные
штрихи шириной а и высотой е. Она образует отражательную решетку с
периодом р = 2а, профиль которой изображен на фиг. 41.1. Будем считать
решетку бесконечно .длинной.
f(x)
1/ (а; 1/
е h t .. . п
О а 2а За
Фиг. 41.1
Для наблюдения поверхности решетки используем установку, изображенную на
фиг. 41.2. Источник-щель помещается в фокусе F коллиматора L\. Эта щель
параллельна штрихам решетки
-и перпендикулярна плоскости рисунка. Она испускает монохроматический
свет с длиной волны к. Падающие лучи перпендикулярны поверхности решетки.
Дифракционные спектры Sp образуются в фокальной плоскости линзы Ь2. Линзы
L2 и L3 идентичны. Расстояния R02, 02Sp, Sp03 и 03R' равны фокусным
расстояниям линз L2 и U В результате плоскости R и R' являются
сопряженными с увеличением, равным единице.
ЗАДАЧА 41
ДИФРАКЦИЯ
Считайте, что линзы имеют достаточно большую апертуру, чтобы лучи не
перекрывались. Применимо преобразование Фурье.
I. Обычное наблюдение
Определите амплитудное распределение на плоскости Sp. Каковы
распределения амплитуды и освещенности на плоскости изображения R'?
