Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
III. Ступенчатая решетка (эшелет)
Установка (фиг. 39.3) используется как ступенчатая решетка. Штрихи на
решетке имеют вид, изображенный на фиг. 39.4.
Фотоэлемент
Фиг 39.3
На металлическую поверхность АВ наносятся штрихи с пилообразным профилем.
Поверхность MN каждой ступеньки образует угол 0 с направлением АВ и имеет
ширину MN = а.
1. Объясните ход лучей на фиг. 39.4.
208
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 33
2. Падающие лучи нормальны к поверхности АВ.
а) Напишите выражение для зависимости интенсивности света,
дифрагировавшего под углом i', от sin i' для ступеньки
шириной а.
б) Определите интенсивность дифракции в этом направлении для N ступенек.
3. Каким должно быть минимальное значение угла 0, чтобы энергия света,
дифрагировавшего от решетки, концентрировалась в особом спектре вблизи X
= 1 мкм? Каков будет порядок этого спектра? ММ = а - 4 мкм.
РЕШЕНИЕ
I
Амплитуда света, дифрагированного зрачком шириной а, равна
Ко (и) = а
sin it па
если принять
Sin I "f sin i
(i)
(2)
Удобно считать началом отсчета углов нормаль к зрачку, а для
Фиг. 39.5
положительного и отрицательного углов взять обычное тригонометрическое
направление.
II. Амплитуда света, дифрагированного ступенькой
1. Между падающими лучами, которые отражаются в точках С и С' (фиг.
39.5), находим разность хода
б,- = С'Н = С'Ь -|- LH - С'К sin i + е cos i. \
Так как угол i мал,
б,- = -4г sin/ + е, причем р - а-\~Ь.
ЗАДАЧА 39 ДИФРАКЦИЯ 209
Между лучами, отраженными в точках С и С', имеется разность хода
б = -¦ [sin i + sin г'] + 2е,
отсюда
Ф = при + 4^- е. (3)
2. Амплитуда дифрагированного света для ступеньки шириной р равна
г' / \ sin пиа . , sin ямб ...
F{ (и) = а-------b b г- е/ф, (4)
1 4 ' пиа nub ' 4 '
отсюда интенсивность равна
/,(") = | Л (и) р.
3. Амплитуда дифрагированного света для решетки с N идентичными
ступеньками есть
F(u) = F1(u)[ 1+е/ф+ ... +е/(^-1)Ф],
откуда
/М = [М")]гЧЩг- (5)
где
Ф = 2 пир. (6)
Если а = Ь - р/2 то уравнение (4) упрощается к
Г1 / \ Sin nUa г, ¦ ,'ml О тт/9 S1T1 ЯМД ф
FAu) - a [1 + е?ф1 -2ае?ф/2-------------------cos-?-, (6 )
1v ' пиа 1 ' 1 пиа 2 4 '
откуда
:ЛЩ>/2
т ({Л == rp f sin пиа A2 cos2 Ф sin2/_
' ' Р \ пиа ) 2 sin2 Ф/2 '
... . о / sin пиа \2 9 Г I 2пе 1 / sin N2nua А2
;(") = 4"ЧЧ5^) c°s,l""°+-](ЧДД. ) '
(7)
Окончательно можно написать
sin яма А2 / sin N2nua А2
т , , . 9 ( sin яма А2 / sin N2nua А2 ,Г . 2яг 1
/ (") = 4а^ ---------- - cos^ пиа Ч-г- .
v ' ¦ V яма ) V З1п2яна ) L 1 Я J
I ' II
Произведение I представляет собой интенсивность дифрагированного света
для решетки Фуко с периодом р- 2а, имеющую N штрихов (см. задачу 35).
Спектры четного порядка (кроме k - 0) исчезают. Остаются только спектры
порядков k = 0, ±1,
210 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 39
±3, ±5, ... Изменение I в зависимости' от и показано на фиг. 39.6
сплошной линией.
Функция / модулируется членом II, функция cos2(nua-\-2ne/X) имеет период
1/а, и положения максимумов и минимумов зависят от значения е. Изменения
члена II показаны на фиг. 39.6 пунктирными кривыми. В зависимости от
положения этой функции некоторые определенные спектры могут исчезнуть.
а) Если е = Кк/2 (К - целое число), то член II равен cos2(яиа). Максимум
пунктирной кривой совпадает с нулем. Отражается только спектр нулевого
порядка. Спектры нечетного порядка исчезают. ,
б) Если e - Knj4 (К-нечетное число), то член II равен sin2(лиа). Минимум
функции находится в начале отсчета. Максимальную интенсивность имеют
только оставшиеся спектры нечетного порядка.
III. Ступенчатая решетка (эшелет)
1.,Фиг. 39.3.
2. а) Амплитуда света, дифрагировавшего от одной ступеньки, равна
г, , . sin лиа ,оч
F. (и) = а-------, (8)
1 v ' пиа '
где
и = -^-(sin9 + sin Г), (8')
I =tz\Fi{u)\2 (см. пунктирную кривую на фиг. 39.7).
ЗАДАЧА 39
ДИФРАКЦИЯ
211
б) Амплитуда света, дифрагировавшего на решетке.
В этом случае потребуется только выражение (5), если принять
Ф = 2я СН - CDsinCDH (см. фиг 39.8),
/т. 2л а .
Ф = -; 5-sin(0 -г).
Л cos 0 ' 7
(9)
3. Используя уравнение (8), можно видеть, что модуляции, обусловленной
дифракцией от одной ступеньки, не возникает,
-sin в=-Л/2а О к=+1
+Л/2а
к = 0
sin I
Фиг. 39.7
если и = 0 или г' = -0. Это соответствует обычному закону отражения.
Для значения i', соответствующего главному максимуму,
Ф = 2&я
или, наконец, используя (9),
-2-а- sin (0 - "') - k% = sin 20 = 2а sin 0. cos 0 ' ' cos 0
212
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 40
Наименьшее значение, разрешенное для угла 0, соответствует k - 1, а
именно
sin9 = ^-=-i-^e = 7°24'. (Ю)
Если ступенька прочерчена под углом 0, то наиболее интенсивный спектр
соответствует порядку k =-\-\ и дифрагированные лучи направлены под таким
углом i', что
Положение других спектров определяется выражением (9), где для угла 0
подставляется его значение (10), однако можно видеть, что это положение
совпадает с нулевыми минимумами (8). Вся энергия сосредоточивается в
спектре порядка +1 (фиг. 39.8).
ЗАДАЧА 40
Нерегулярная решетка
