Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
(13)
где О (и) - распределение света на объекте,
D (и) - распределение света в дифракционном изображении точечного
источника (единичный импульс).
Теорема Парсеваля позволяет преобразовать свертку (13) в произведение
(см. приложение А, Б, II):
(14)
где
i (х) = -о(х) ¦ ¦ d (л;)
О(и)- F. Т. > о(х),
D (")- F. Т. d(x),
/(")- F. Т. i {х).
(15)
Определение преобразования Фурье
о(х)
О (и) - функция ширины "о-
Получаем (см. приложение А)
о(х)-
Sin Jl"o* пиах
d (л:)
(16)
1. d(x)-аппаратная функция прибора. В этом случае необходимо
определить автокорреляционную функцию решетки с бесконечно узкими щелями,
периодом р и шириной L = Np
190
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 37
(фиг. 37.4,а и б). При определении произведения o(x)-d(x) можно
рассмотреть множество случаев.
Если источник имеет вид чрезвычайно узкой щели, то кривая о(х) сильно
растянута (фиг. 37.5) и тогда
о (.г) • d (х) та d (.v).
(17)
Распределение света в изображении определяется функцией D(u).
f{x)
-L/2 0 р +L/2
Пропускная способность решетки
Функция переноса 5
Фиг. 37.4
Если щель широко открыта, то ширина о(х) может быть меньше, чем ширина
d(x), и произведение o(x)-d(x) может очень сильно отличаться от dx (фиг.
37.6).
Фиг. 37.5
Фиг. 37.6
Нас интересует здесь только последний случай. Имеем
i{x) = d(x),
т. е. ] (и) =D(u), если функция о(х) примерно равна единице при -L < л: <
+Е. Предположим, что это условие выполняется при
ЗАДАЧА 37
ДИФРАКЦИЯ
191
тогда
d <
^¦'1 4 L '
(19)
Численный пример:
^ ^ 1 -50- 10* п с
d< 4-10-5000 = 2.5 МКМ.
Второй метод
Применим теорему Ван Циттерта - Цернике, которая сформулирована и
доказана в приложении Б.
В плоскости зрачка (плоскость решетки) помещаем искусственное
дифракционное пятно с центром в точке Р0 (точка Р0
Фиг. 37.7
соответствует краю решетки). Распределение амплитуды в этом дифракционном
пятне равно преобразованию Фурье для распределения энергии в плоскости
источника.
Пусть
о (Р) 0( М).
Конечно, такого дифракционного пятна не существует в плоскости хОу,
которая в действительности равномерно освещается источником. Однако
амплитудное распределение в дифракционном изображении равно распределению
степени когерентности света в плоскости зрачка.
Степень когерентности между точкой Р (любая точка в плоскости зрачка) и
точкой Р0 равна нормированной амплитуде о(Р), т. е., скажем, о(х) (фиг.
37.7).
На фиг. 37.7 изображены функция о(х) (пунктиром) и пропу-скательная
способность зрачка (амплитудная) f(x).
192
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 37
Степень когерентности между Р и Р0 будет равна единице, если о(Р) = 1.
Освещение решетки будет считаться когерентным, если о(Рi)= 1, т. е. если
o(Np) = o(L) = 1.
Мы считаем, что это условие выполняется, если
т->*~
4м0
Тогда мы вновь получаем (18).
III. Опыт Аббе
В последней части задачи будем считать освещение когерентным.
1. Прозрачные линии имеют конечную ширину р/3. Амплитудное пропускание
зрачка показано на фиг. 37.8.
На каждой щели шириной 2р/3 амплитуда света, дифрагировавшего под углом
i, равна
л и\ - Р sin я [(p/3) (sin i/%)] ,on,
Л v ' - 3 я (p/3) (sMi ЦК) • ^ U'
Интенсивность (нормированная) света, пропущенного N щелями под этим
углом, определяется выражением
чМЭДШЯ <21>
где
2я . .
Ф =-^- psim.
Изменение функции I в зависимости от sin i представлено на фиг. 37.9.
Спектры порядков ±3, ±6, ±9 исчезают.
2. Линза L3 помещается между точками, расположенными на двойном фокусном
расстоянии. Если решетка расположена за L2, то ее изображение образуется
в 0'2 с единичным увеличением (фиг. 37.10). Пусть и их будут
сопряженными переменными
(и = sin i/a). Амплитудное распределение в плоскостях ft, L3
и 02 определяется соответственно функциями
f(x), -----
F(u) до введения линзы-затвора, Ф(ц) - после (22) введения линзы-затвора.
ф (*)
a) L3 действует как затвор в том смысле, что она пропускает только
спектр нулевого порядка. Таким образом,
* / , sin nuL
ЗАДАЧА 37
ДИФРАКЦИЯ
193
\f{z)
-L
/(sin i)
HI II
p/3 p Фиг. 37.8
+L
>0'
<p(x)
-L/2 0 +L/2
S
Фиг. 37.11
7 Зак.; 173
194 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 37
где Ф(ы)-амплитуда света, дифрагировавшего от щели шириной L. Таким
образом, окончательное изображение состоит из равномерно освещенных
полос, имеющих ширину L и высоту решетки.
На языке преобразования Фурье
( 1 при - Т/2 < х < L/2,
Ф (х) - F. Т. [Ф (и)] = 4 Л (24)
(.0 для других случаев.
Эти две функции изображены на фиг. 37.11, а и 37.11,6.
б) Пропускаются только спектры порядка +1 и ¦-1.
Эти два спектра образуют два вторичных источника, которые коге-я рентны,
находятся в фазе и создают полосы типа полос Юнга. Действительно, если
обозначить через Ф'(и) амплитудное распределение после прохождения через
линзу Тз, то получим (фиг. 37.12, а)
° ф'(ы) = ф(и+1)+ф(ы_1).
(25)
Таким образом, амплитудное распределение в плоскости изображения будет
иметь вид
• ф' (х) = F. Т. [Ф' (и)] =
= ф (х) е'2пх1р + ф (х) е-/2я*/р
6 X
ф' (х) = 2ф (х) cos 2л - . (26)
