Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
аг/а0 = Ю-2. Определите освещенность в плоскости П на расстоянии, равном
величине 30/1,22, умноженной на радиус дифракционного пятна,
образованного свободным объективом (в отсутствие маленьких экранов). Пер-
ЗАДАЧА ?В
ДИФРАКЦИЯ
173
воначально покажите, что условия таковы, что позволяют использовать
теорему Бабине. В последней части этой задачи освещенность, создаваемая
открытым зрачком в С, принимается равной единице.
V. Аподизация
Теперь объектив используется с полной апертурой (экраны удалены), и перед
ним помещается стеклянная пластинка L с параллельными гранями (фиг.
36.3). На одной стороне пластинки L нанесена тонкая пленка с
неравномерным поглощением, которая не вызывает фазового сдвига.
Поглощающая
пленка наносится таким образом, чтобы поглощение было одинаковым для всех
точек, расположенных на окружности, центр которой находится в О' на
пересечении оптической оси объектива с пластинкой. Зависимость изменения
амплитуды от а описывается выражением е~аа\ где а - коэффициент, который
соответствует максимальному поглощению.
Определите изменение освещенности в центре дифракционной картины.
Численный пример-, ао = Vs и а = 1.
Можно ли получить дифракционную картину, если поглощение на краю
становится очень большим (а 5г> 1)?
VI. Фокусирующие дефекты
Пластинка, используемая в предыдущем вопросе, заменяется теперь
совершенно прозрачной пластинкой, которая имеет равномерно изменяющуюся
толщину. Изменение толщины, как и в вопросе V, обладает цилиндрической
симметрией относительно оптической оси объектива. Изменение толщины
пластинки обусловливает изменение фазы (из-за разности хода), зависимость
которой от а имеет вид еа2/2, где е - коэффициент, который соответствует
максимальной разности хода. Определите освещенность в точке С. Исследуйте
изменение освещенности в центре дифракционной картины в зависимости от
разности фаз Ф = яеа(j/А, (к- длина волны используемого света). Начертите
кривую для значений Ф от 0 до 4я.
L
Фиг. 36.3
174
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 36
Покажите, что в случае удаления пластинки L и медленного смещения
фокальной плоскости параллельно самой себе до некоторой точки изменение
освещенности в центре дифракционной картины характеризуется этой же
кривой.
Примечание. Для решения этой задачи не обязательно знать свойства функции
Бесселя. Требуется всего лишь несколько полезных результатов:
2л
^ ?-/Kapcost) ^9 ~ 2я/0 (/(ар),
о
z
^]Q{z) z dz - Z • (Z).
о
Таблица численных значений
Z A (Z) , А (2) Z Z A (Z) 9 A(Z) Z
0,0 + 1,000 + 1,000 6,00 +0,151 -0,092
1,00 +0,765 +0,880 7,00 +0,300 -0,001
2,00 +0,224 +0,577 8,00 +0,172 + 0,059
3,00 -0,260 +0,226 9,00 -0,090 +0,054
4,00 -0,397 - 0,033 10,00 -0,246 +0,009
5,00 -0,178 -0,131
JQ(Z) = 0 для Z =2,405; 5,52; 8,65 ... /, (Z)/Z = 0 для Z = 3,83; 7,02;
10,17 .. .
РЕШЕНИЕ
При решении этой задачи будут использоваться цилиндрические координаты,
так как в рассматриваемых примерах мы имеем дело с вращательной
симметрией (фиг. 36.4).
Фиг. 36.4
ЗАДАЧА 36
ДИФРАКЦИЯ
175
Определим амплитуду в точке М.
Общее выражение для амплитуды в точке М имеет ви;
а0 2л
Л(Л0=$ J ехр["- j Д|у- ар cos (0 - 0')] а da dQ.
о о
Изменяя начало отсчета азимутов, можно написать
а0 2я
А (М) = ^ ^ ехр( - y'-^-apcosB^ adadQ.
(1)
(2)
о о
I. Открытый зрачок
1. Имеем
1ЛГ,
А (М) = 2л ^ J0 {Кра) a da,
(3)
А(М)=-^~2 ^JoiKpa) ¦ (Кра) d {Кра) = {Кра0)Д (Кра0),
А (М) = т20 2/lz(Z)
г, 2л
С Z л pctg*
(4)
Тогда интенсивность дифрагированного света в точке М равна
I (Л!) = (я<Хд)5
4/f (Z) 22
(5)
Распределение интенсивности приведено на фиг. 36.5.
"Объемная" дифракционная картина обладает вращательной симметрией
относительно С. Первое темное кольцо соответствует Z = 3,83.
Центр дифракционного изображения всегда лежит на геометрическом
изображении.
В точке С имеем
С 3,83 7,02 10,17 Фиг. 35.5
I
(C) = (nag)*X4(^-)2=(na§)
(6)
Интенсивность всегда равна квадрату площади зрачка S.
Этот результат кажется парадоксальным, но он легко объясним.
Действительно, дифракционное пятно "размазывается" по поверхности обратно
пропорционально поверхности зрачка.
176
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 36
Следовательно, суммарный поток, равный объему "пространственной"
дифракционной картины, пропорционален 5.
2. Так как первое темное кольцо соответствует Z - 3,83, имеем
" 2я 2я т0 2я р 2я " 0 00
z = - = т Т'р = т r° J = X г°е " 3'83;
следовательно,
3,83Я _ 3,83- 0,6 • 10-А
2 ¦ 3,14т0 ~ 3,14-6
0= 1,2 • 10"5рад.
II. Непрозрачный диск
1. Исходя из общего выражения для амплитуды, можно
написать
аэ а,
А (М) - 2л ^ J0 (Кар) a da - 2л ^ J.0(Kap) a da, (7)
о о
А (М) = яа2 - яа2 - j*l) , (8)
где принято Z0 -яа0р и Z,=na1p.
Тогда выражение для освещенности принимает вид
/ (М) = л2 { + "1 pifi!]2 - 2а2а2 } . (9)
Освещенность в точке С равна
/(C) = A<[l - C-ir)T ¦ <10>
тогда как в случае открытого зрачка она была равна я2аф
Для уменьшения интенсивности не более чем на 10% необходимо, чтобы
