Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
/V,- /V,-
i " i с собственными значениями п(п + 1),
t t
N; N; с собственными значениями т(т? 1),
где т, п = 0, 1/2, 1, 3/2, ... . Полученные представления индицируются
парой чисел (п, т), а состояния внутри представления различаются
дополнительно по собственным значениям операторов N3 и /v|. Заметим, что
две группы SU(2) не являются независимыми, так как их можно менять
местами, производя операцию четности Р, в результате которой имеем
и операцию эрмитового сопряжения, меняющую знак мнимой единицы
20
Глава 1
и поэтому превращающую Л/ в nJ • В общем случае представления группы
Лоренца не являются собственными состояниями ни четности, ни (эрмитового)
сопряжения. Поскольку Ji = /V2- ^ можно отождествить спин представления с
т? п . Рассмотрим для примера следующие представления:
а) (0, 0):спин равен нулю, скалярное представление с определенной
четностью (может быть скаляром и псевдоскаляром);
б) (1/2, 0): спин равен 1/2, левый спинор (определение левого и правого
условное);
в) (0, 1/2): спин равен 1/2, правый спинор.
Эти спиноры имеют по две компоненты ("спин вверх" и "спин вниз"), и их
называют вейлевскими. Когда требуется учитывать четность, следует
рассматривать линейную комбинацию (0, 1/2) ф (1/2, 0), образующую
дираковский спинор.
Любопытно, что, задав эти спинорные представления, мы можем, умножая их
друг на друга, построить любое другое представление. Это эквивалентно
построению состояний с высшими спинами путем образования
(кронекеровского) произведения многих состояний со спином 1/2 в группе
вращений. Приведем два примера.
а) Произведение (1/2, 0) (r) (0, 1/2) = (1/2, 1/2) дает представление со
спином 1 с четырьмя компонентами. В тензорном обозначении оно
записывалось бы как 4-вектор.
б) (1/2, 0)(r) (1/2, 0) =¦ (0, 0)(r)(], 0). Здесь скалярное представление
дается антисимметричным произведением. ЬЬвое представление (1, 0)
описывается антисимметричным самодуальным тензором второго ранга, т.е.
тензором Вцу, удовлетворяющим условиям
*nv=-^- ^vpCT Bpo, (2.39), (2.40)
где е пчрст _ символ Леви-Чивиты в четырех измерениях, полностью
антисимметричный по своим индексам, причем е 0 1 2 3 = ¦+ 1.
Представление (0, 1) отвечает антисамодуальному тензору
V = ^vpa v- <2-41)
Например, максвелловский тензор напряженности поля Fpv преобразуется по
отношению к группе Лоренца как (0, 1)(r) (1" 0).
Подчеркнем, наконец, один важный момент. Предположим, что мы
рассматриваем ПЛ в так называемом "евклидовом пространстве", где
переменная t заменена величиной \/- 1 t. Тогда перестановочные
соотношения сохранятся, с той только разницей, что gpv заменится кро-
Функционал действия
21
некеровским дельта-символом - оци , и в результате мы придем к алгебре Ли
группы SO(4), т.е. группы вращений в четырех измерениях. Теперь уже
расщепление на две коммутирующие группы SU(2) достигается с помощью
эрмитовых комбинаций Ji ±К,- . Эти две группы SU (2) полностью
независимы, поскольку они не могут быть переведены друг в друга
сопряжением. Четность может все еще связывать эти две группы, но в
евклидовом пространстве, где все направления эквивалентны, это уже
значительно'менее интересно.
Задачи
A. Покажите, что преобразования Лоренца удовлетворяют групповым аксиомам,
т.е. что если L1 и Ь2 - два ПЛ, то и произведение L jL 2 - тоже ПЛ;
существует тождественное преобразование, и если L - ПЛ, то и обратное
преобразование L-1 - тоже ПЛ.
Б. Покажите, что det L и знак величины А°0 являются лоренц-инвариантными
и могут быть поэтому использованы для классификации преобразований
Лоренца.
B. Покажите, что если L - ограниченное ПЛ (det L = + 1,
А°0 > 1), то все преобразования Лоренца могут быть записаны в виде
L х пространственное отражение для L х обращение времени для l)_ ,
L х пространственное отражение х обращение времени для .
Г. | Покажите что ограниченное преобразование Лоренца можно однозначно
представить в виде произведения буста и вращения.
*Д. Задача о перетасовке индексов: покажите, что компоненты самодуального
антисимметричного тензора второго ранга преобразуются друг через друга,
т.е. неприводимо по отношению к группе Лоренца.
§ 3. Группа Пуанкаре
Другой фундаментальный принцип - это инвариантность поведения
изолированной физической системы по отношению к однородным трансляциям в
пространстве и времени. (Чтобы генерировать гравитационные
взаимодействия, этот принцип следует обобщить на произвольные
трансляции.) Такое преобразование записывается в виде
хч -> x'v- = -к аЧ, (3.1)
где о ч _ произвольный постоянный 4-вектор. Следовательно, общей группой
инвариантности является десятипараметрическая группа, на-
22
Гпава 1
зываемая группой Пуанкаре, для которо!-
= --а". (3.2)
Трансляции (3.1) не коммутируют с ПЛ. Действительно, рассмотрим два
последовательных преобразования группы Пуанкаре (ГП) с параметрами (Aj, а
,) и (Л2, а 2):
X" -> AM1V*V + 0^! A^jp AP1V xv+ Лр2р оР! + ор2. (3.3)
Мы видим, что параметры трансляции подвергаются вращению. Здесь нет
