Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 10

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 98 >> Следующая

- а • (са + iv)
Лд = е 2 . (4.22)
Эти выражения для и Ад дают возможность вывести ряд важных свойств. Во-
первых, мы видим, что и Лд связаны между собой соотношением
Л7,1 = Лд • (4.23)
Во-вторых, в силу магического свойства матриц Паули
а 2ст *' а 2 = - (а "' )*, (4.24)
где звездочкой обозначена, как обычно, комплексно сопряженная матрица,
можно написать соотношение
о . - сг * • (СО - I V) *
ст Л^ст2 - е 2 = Лд . (4.25)
В-третьих, из эрмитово-сопряженного равенства (4.24) с учетом эрми-
товости матриц Паули следует, что
д 7" = а2А~[} с2, (4.26)
откуда а 2л? а 2Л^ =1, или Л^ст 2Л^ = сг2. (4.27)
Такое же равенство справедливо и для Ад. Все эти соотношения пона-добятся
при построении лоренц-инвариантных выражений, содержащих спинорные поля.
В качестве первого применения, используя комплексно сопряженное равенство
(4.25), находим, что при лоренцовских преобразованиях выполняются
соотношения
а V* - СТ2Д* у* = ст2д* а2а2т* _ Ад От 2Ц2 *. (4.28)
L ь
Формула (4.28) показывает, что, если задан спинор , преобразующийся как
(1 /2, 0), можно построить связанный с ним спинор a , преобразующийся как
(0, 1/ 2). Точно так же, если спинор преобразуется как (0, 1/ 2), то
спинор сг 2у* преобразуется как (1/2, 0).
Ранее отмечалось, что можно построить скалярное представление, взяв
антисимметричное произведение двух представлений (1/2, 0). Теперь это
можно явно показать. Пусть и - два спинора, преобразующиеся по
представлению (1/2, 0). Как следует из формулы (4.27),
Функционал действия
29
при лоренцовских преобразованиях
*TLa2VL - 'Xi Л^<х2Лl4>l = XTL°2VL- И*29)
Это и есть искомый скаляр. С точки зрения теории групп скалярное
произведение возникает как антисимметричное произведение; поэтому, взяв
xL = Л?ь , мы должны получить, что скалярный инвариант не существует. В
явной форме находим, что *
ц/a2vpr =-(vpr у, ) ( U I 1 ( ш 1 = -
i V, + '* 4>L Y
(4.30)
и это выражение обращается в нуль, если и уь2 ~ обычные числа. Но если
взять в качестве и у/, грассмановы числа, антиком" мутирующие друг с
другом, то такой скалярный инвариант будет иметь ненулевое значение. И
действительно, как мы увидим ниже, спинорные поля будут рассматриваться
как классические грассмановы (антикоммутирующие) числа.
Можно также взять хг = -а \* . Тогда инвариант принимает вид
L К
1' )^2 *?=¦-*• (4*3l>
Ни один из этих инвариантов не является действительным. Заменяя L на R и
наоборот, мы получим комплексно сопряженные инварианты.
Из двух спиноров можно построить и представление, отвечающее 4-вектору.
Простейший путь - начать со спинора у?~(1/2, 0), так как из него можно
сконструировать спинор (0, 1/2), а затем перемножить эти два спинора.
Известно, что величина инвариантна по
отношению к вращениям, которые представляются унитарными операторами,
действующими на спиноры. Но она не инвариантна по отношению к бустам,
поскольку
VV VLea'X"4L4?+W*4'Ie4'L +CV)' (4.32)
Однако дополнительно возникшая величина преобразуется по правилу
t t тт- (F • V - 0 • V
30
Глава 1
где фигурными скобками 1 I обозначен антикоммутатор. Следовательно^ под
действием бустов две указанные величины преобразуются друг в друга:
Ч Vv4ff4- 4a4 = v4 V (4.34)
t .
а по отношению к вращением величина ' ведет себя как трехмерный вектор.
Сравним соотношения (4.34) с законом преобразования 4-вектора
6F^ = e^v Kv, (4.35)
где е = - V* - параметры буста. Отсюда вытекает, что величина ;ш (т^ш = ?
(ш у , у <у1 у v (4.36)
L L L L L ?7
является 4-вектором. Здесь мы обозначили через a 0 единичную 2x2-матрицу.
Начав с и изменив знак пространственных компонент, можно получить другой
4-вектор
i Ч'д, -Ц>1 °1 Ч*д) (4.37)
Эти два вектора действительны, поскольку ц^ии уд - грассмановы
переменные: (Ч^)* = их сумма (разность)
имеет положительную (отрицательную) четность.
Каждый из этих 4-векторов, скомбинированный с другим, может дать
лоренцовский инвариант. Как мы видели ранее, простейшим 4-вектором
является оператор производной д^, который вдобавок еще и трансляционно-
инвариантен. Так как оператор 3 может действовать на любое из полей,
получаем следующие билинейные по спинорным полям инварианты:
'VVX' (4.38)
Подразумевается, что оператор производной действует направо и только на
ближайшую соседнюю величину. Указанные лоренцовские инвариантны уже не
являются действительными; однако можно образовать действительные
комбинации, например
Т" -у- <Wa4 Е \vla*~d"vL (4-39)
и аналогичное выражение, в котором L заменено на R, а а ц - на ст^.
Если четность существенна, то следует объединить представления (1/ 2, 0)
и (0, 1/2). Поскольку невозможно приравнять спинор
Функционал действия
31
спинору a2y*i , не придя к противоречию или к условию
= 0, необходимо построить четырехкомпонентный спинор, называемый
дираковским спинором:
• (c)
(4.40)
для которого операция пространственной инверсии хорошо определена:
Р: ^Т=(^)={1 (4'41)
где введена 4* 4-матрица у0. С помощью проекционных операторов -у- d
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed