Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
PVvL?MCTpv и т.д. (4.61)
Действительным скалярным инвариантом является комбинация
~Y ^ 4>VL - VixROpde ЧМ?) ?^vPct = _L Тйу5урйт Tv? MVpa.
2
(4.62)
Наличие знака минус, или, что то же, матрицы у5, диктуется свойствами
тензора е по отношению к преобразованию четности. Наконец, заметим, что,
как и в случае поля со спином 1/2, на поля Рариты -Швингера можно
наложить майорановские условия.
д) Поле со спином 2 И в этом случае существует много способов описать
поле со спином 2: (2, 0), (0, 2), (1, 1). Выберем последний способ. Такое
представление возникает в произведении
(-2_' Т U{ ~Г' >= l)lse[<0, 1).(1,0)Ь,
(4.63)
где индексами S и А обозначены симметричная и антисимметричная части.
Следовательно, поле со спином 2 может быть описано симме-
Функционал действия
35
тричным тензором второго ранга АЦХ). Следу этого тензора соответствует
скалярная компонента, которую можно отбросить, наложив условие
бесследовости
Инвариантны легко строятся путем "насыщения" векторных индексов и
использования оператора д^. Вот примеры:
Такое тензоррое поле возникает в общей теории относительности, где оно
используется для описания гравитона.
Завершая параграф, заметим, что можно построить и много других полей,
обладающих определенными свойствами по отношению к лоренцовским
преобразованиям. Мы выбрали для более детального обсуждения только те из
них, которые используются для описания физических явлений. Это как раз те
поля, которым мы можем сопоставить фундаментальные частицы. Так,
дираковским спинорам мы ставим в соответствие заряженные фермионы,
подобные электрону, мюону, тау-лептону, кваркам; вейлевским спинорам -
нейтрино ve, уц, vT. Векторным полям мы сопоставляем фотон, глюоны,
посредством которых осуществляются сильные взаимодействия, и V- бозоны,
посредством которых осуществляются слабые взаимодействия. Наконец,
тензорному полю соответствует гравитон, посредством которого
осуществляется гравитационное взаимодействие.
А. Найдите в явной форме результат действия оператора Spa на
Б. Выразите результат действия оператора Spo на дираковский спинор через
дираковские матрицы, т.е. представьте в виде, не зависящем от
представления.
В. Постройте явное выражение для поля, билинейного по спинорам XL и^ии
преобразующегося по представлению (1, 0). Можно ли построить такое поле
только из поля
Г. Используя матрицы AL и Ад , найдите форму, которую принимают
преобразования Лоренца, действующие на матрицу (4.53).
Д. Исходя из полей у^(х) и Лц(%), постройте по крайней мере два
инварианта, в которые входят оба эти поля.
Е. Найдите представление матриц Дирака, в котором компоненты
майорановского спинора действительны. Такое представление называется
майорановским представлением.
g^AnV(*) = 0.
(4.64)
(4.65)
Задачи
36
Глава 1
§ 5. Общие свойства действия
В предыдущих параграфах мы познакомились с тем, как построить пуанкаре-
инвариантные выражения из полей, имеющих вполне определенные
трансформационные свойства по отношению к группе Пуанкаре. Теперь мы
можем объединять эти инварианты в выражения для функционалов действия,
которые могли бы служить основой для более или менее приемлемых
физических теорий. Требование инвариантности по отношению к группе
Пуанкаре гарантирует, что эти теории будут подчиняться аксиомам
специальной теории относительности. Но, освоившись с таким построением,
мы увидим, что получается слишком много вариантов теорий и что одного
требования пуанкаре-инвариантности недостаточно для того, чтобы выделить
истинное действие, описывающее мир. Попытаемся сузить круг наших поисков
и перечислим некоторые искусственно налагаемые требования, которые, как
выяснилось, достаточны 1 для того, чтобы отобрать приемлемые теории.
1. Мы используем функционалы действия вида
есть мера интегрирования в четырехмерном пространстве Минковско-го.
Иногда по математическим соображениям мы будем менять число измерений
пространства-времени или даже рассматривать меру в евклидовом
пространстве, где d4- х заменяется евклидовой мерой
причем х°= iх°, х1 .Подынтегральное выражение ? называется лагранжевой
плотностью или, короче, лагранжианом. Лагранжиан является функцией только
полей и их производных, чем обеспечивается трансляционная инвариантность.
Кроме того, он зависит от полей, взятых только в одной пространственно-
временной точке следствием чего оказывается локальный характер теории
поля. Ясно, что такой выбор - простейший из возможных: нетрудно
вообразить и нелокальные теории поля, но они, конечно, будут более
сложными. Однако наша вера в локальную теории поля такова, что мы считаем
такую теорию пригодной даже для описания нелокальных явлений!
2. Мы требуем, чтобы функционал 5 был действительным. Это требование,
как установлено, совершенно необходимо для получения удов-
т2
S = f d*xl,
(5.1)
Tl
где Tj ит2 - пределы интегрирования, а d4 х = dt dx1 dx2dx3
(5.2)
d4x = dx° dx1 dx2 dx3
(5.3)
Функционал действия
37
летворительных квантовых теорий поля, в которых сохранялась бы полная
