Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
благодарность ЮДорригэну и Дж.Харви за то, что они познакомили меня с
техникой ?-функций, а также аспирантам группы Физика-230 за их терпение и
многочисленные предложения. Наконец, я глубоко признателен Роме Гейнс и
Хелене Так, современным копиистам, без героических усилий которых эти
конспекты никогда не увидели бы света.
Пасадена, лето 1980 г.
П.Рамон
Глава 1 Функционал действия
§1. Элементарные сведения
Есть нечто прекрасное и способное внушить благоговейные чувства в том,
что все основные законы классической физики можно вывести из одной-
единственной математической конструкции, именуемой действием. Из нее
вытекают классические уравнения движения, а анализ условий инвариантности
действия позволяет найти величины, сохраняющиеся при классическом
движении. Вдобавок, как показали Дирак и Фейнман, роль понятия действия
полностью раскрывается в квантовой физике. Благодаря этому обеспечивается
ясный и элегантный язык для описания перехода от классической к квантовой
физике с использованием фейнмановского интеграла по траекториям (ФИТ).
Таким образом, наша задача ясна: сначала мы научимся строить приемлемые
функционалы действия (ФД), а затем выведем квантовые свойства системы,
описываемой заданным ФД, вычисляя связанный с ним ФИТ. Прежде всего
исследуем ФД для элементарной системы -точечной частицы, вектор положения
которой в момент времени t есть ж(. ({) (; = 1, 2, 3) и которая движется
в независящем от времени потенциале V(xi). Соответствующий ФД дается
выражением
12 Л ах. dx-
S ([*.]¦; ,i, f2) а f, dt ( -i- т -5- ------------V(xt)). (1.1)
t I dt dt
1 l
Он является функцией начального и конечного моментов времени t j и't 2 и
функционалом от траектории *,• (t) при tx<'t <t 2. (По повторяющимся
латинским индексам проводится суммирование.) Все это означает, что
заданной траектории х{ (t) мы сопоставляем некое число, именуемое
функционалом (в данном случае S). Функциональный аргумент мы будем
заключать в квадратные скобки [...L Например, длина траектории есть
функционал от траектории.
Посмотрим, как меняется S при малой деформации траектории
*"(*)¦* *"(*) +S*j(t). (1.2)
12
Глава 1
Имеем
h ] d(xi е:б xt) d(xt +:5 xt)
S[xi -кб*,- ] = / dt( -
m
, - dt dt
-V(xi + 8xi )). (1.3)
Пренебрегая членами О(бяг)2; можно написать
d(xj + Sxi ) d{*i ^ dxt dx. n d\.
dt
dt dt dt dt 2 j,a 5*< <¦
J rfx,-
+ jT (5*1' it >' (1*4)
F(x? f :6ж? ) = F(*j ) 4-'5яг,- д( V. (1.5)
(Здесьд,- =д/дх^ Таким образом,
d2xi
5[жг + 6лг^ ] =s[лг^ ]+ f dt8xj (- д;У -
m
+ m f dt (6ж. ш^%1 . ). (1.6)
t, dt 1 dt
Последнее слагаемое есть "поверхностный" член. Его можно устранить, если
ограничиться вариациями траекторий, обращающимися в нуль в концевых
точках: бж,- (г i) = 5яг* (t2) = 0. Если принять это условие, то из
требования постоянства действия S при любых бж? вытекают классические
уравнения движения системы. Символически запишем это как равенство нулю
функциональной производной, определяемой соотношением
S[xf :6ж/ ] = S[ Xi ] + :/ dt8xi + ... . (1.7)
5 *.
Итак,
- (m _f!^L + (Э?Е)=0. (1.8)
бж? dt2
Следовательно, мы установили взаимное соответствие между уравнениями
движения и условием экстремальности действия S. Заметим, однако, что
условие экстремальности действия S приводит к целому
Функционал действия
13
классу возможных траекторий. По какой из них на самом деле происходит
движение, зависит от граничных условий, задаваемых как начальные значения
величин и с?ж,- / dt.
Следующий и самый важный момент, который нужно отметить, это наличие
взаимного соответствия между симметриями действия S и существованием
величин, сохраняющихся в процессе движения системы. Приведем пример.
Пусть V(xi ) - функция длины вектора ж,- , т.е. величины г = (xi )А.
Тогда действие S, очевидно, инвариантно по отношению к вращениям
трехмерного вектора xi , поскольку оно зависит только от длины этого
вектора, а она при вращениях не меняется. При бесконечно малом
произвольном вращении имеем 5х? =-Е,-у*у, е,-у = ¦ - tji , причем Ег'у не
зависит от времени. (1.9)
Далее, так как действие S инвариантно, выполняется равенство бS = 0. Но
ранее мы видели, что 55 состоит из двух слагаемых: функциональной
производной, равной нулю для классической траектории, и поверхностного
члена. Однако для данной конкретной вариации мы не можем наложить на Sxi
(г) граничные условия, и поэтому инвариантность действия S совместно с
уравнениями движения приводит к равенству
t
2
d , dxi " , dx
0= 6S =¦/.& (n Б ) = 4jmXj_^i_ | ; . (1.10)
t dt dt dt t
1 ?i
Поскольку это верно при любых е f ., величины 1,ч 1 dx • dx;
lij(t)= ц*. х - ) (1.Ц)
2 dt 1 dt
удовлетворяют равенству
hj (*i) =lij{t2) (1.12)
л потому сохраняются в процессе движения. Как известно, это компоненты
углового момента. Инфинитезимальную форму закона сохранения можно
получить, положив t2 -* t г Итак, мы доказали в одном простом случае
знаменитую теорему Эмми Нетер,-связывающую инвариантность (здесь по
