Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 11

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 98 >> Следующая

±Ys)> (4-42)
где (в блочной форме)
Г, - ( ' ). ИЛ)
можно спроектировать дираковский спинор на левый или правый спиноры.
Все построенные ранее инварианты можно выразить через дира-ковские
спиноры. Например,
+ = 7°Т = Фт, (4.44)
где ф = vp 1 у0 - дирак овски-сопряженный спинор. Так как величина (4.44)
является лоренцовским инвариантом, спинор CjJ преобразуемся
контраградиентно по отношению к Т. Аналогично
2 (4-45)
где введены 4 х 4-матрицы
г'-("°г;'). (4.46)
Поскольку величина (4.45) - лоренцовский инвариант, индекс ц у у -матриц
является истинным 4-векторным индексом, Ясно, что это дира-ковские
матрицы в вейлевском представлении. Они удовлетворяют соотношению
iyM, yv}=2g**V (4.47)
32
Гпава 1
Матрица у 5 связана с другими у-матрицами формулой
у5 = i у°у1у2У3 • (4.48)
Учитывая эквивалентность спиноров и сг 2ц>^ по отношению к
преобразованиям Лоренца, можно построить соответствующий дираков-ский
спинор
*•¦('* Л)-
Заметим, что
{^с)с = Т. (4.50)
Спинор fс называется (зарядово) сопряженным. Поскольку ст2^*
преобразуется так же, как можно построить и специальный тип
четырехкомпонентного спинора, называемый майорановским спинором,
Vм = ). (4.51)
Он (зарядово) самосопряжен; Майорановский спинор - это вейлевский спинор,
записанный в четырехкомпонентной форме. Мы остановимся на физической
интерпретации этого спинора, когда построим из спи-норных полей
функционалы действия. Сейчас же заметим лишь, что майорановский или
вейлевский спинор описывает объекты с вдвое меньшим, чем у дираковских
спиноров, числом степеней свободы.
Как мы отмечали в конце § 2, в евклидовом пространстве нельзя связать
друг с другом две S {/(2)-группы, образующие (евклидову) группу Лоренца.
Теперь мы можем показать, почему это так. Каждая из групп SU(2)
реализуется унитарными операторами, и поэтому мы имеем новые выражения
л *Е а-(а, + v)
А/- -" А , = е 2
L
ст • ("- V)
Лй ¦* ля = е
(4.52)
откуда видно, что между и нет никаких связей. Следовательно, в евклидовом
пространстве не существуют майорановские спиноры, так как невозможно
связать yf и Однако мы свободны в F Е Li К
выборе у L или по отдельности и даже можем образовать дираков-
ский спинор Vе, понимая при этом, что введенная ранее операция зарядового
сопряжения перестает существовать.
Функционал действия
33
в) Векторное поле Векторное поле преобразуется по представлению (1/2,
1/2). Мы уже видели, как действует оператор Sp(T на произвольное
векторное поле Лц(х). К этому можно добавить, что существует другое
представление векторного поля в виде эрмитовой 2 х 2-матрицы
/А° + А3 ^ +
" А = \А1 - i А2 А0-А3 )' I4*53)
Преобразования Лоренца определяются как такие преобразования, при которых
сохраняется условие А=А ^ и инвариантна величина det А. Можно рассмотреть
ряд инвариантов, таких,как Лр(д:)А"(х), da/4v(it)dw/4^(*), дм4у(эс),й
т.д. Поскольку для
ного представления четность определена, можно определить как векторные,
так и аксиально-векторные поля.
г) Поле со спином 3/2 Можно по-разному определять поле со спином 3/2 в
зависимости от того, какую роль должна играть четность. Один из возможных
способов заключается в том, чтобы образовать произведения трех
представлений (1/2, 0):
(1/2, 0) (r)(1/2, 0) (r)(1/2, 0)= (3/2, 0) (r)(1/2, 0) (r) (1/ 2, 0). (4.54)
Полностью симметричное произведение отвечает спину (3/2 [ два
представления (1/2, 0) имеют смешанную симметрию].. Таким образом, поле
со спином 3/2 представляется полем, полностью симметричным относительно
перестановок трех его спинорных индексов L-типа. Трансформационные
свойства такого поля получаются путем соответствующего обобщения действия
оператора SpQ на индекс i-типа (см. задачу). В этом случае собственные
состояния оператора четности даются комбинацией представлений (3/2,
0)~(0, 3/2). Однако подобное представление довольно громоздко из-за
большого числа индексов у символа поля.
Более удобное представление поля со спином 3/ 2 дает произведение вектора
и спинора:
(1/2, 1/2)(r) (1/2, 0)= (1, 1/2)(r) (0, 1/2). (4.55)
Соответствующая полевая величина имеет 4-векторный и спинорный индексы.
Собственным состоянием оператора четности будет в этом случае
четырехкомпонентное поле Рариты - Швингера
У г
ai
34
Глава 1
(спинорные индексы опущены). Записанное в таком виде поле описывает все
состояния, содержащиеся в произведении (4.55), вместе с их партнерами по
четности. Следовательно, необходимо лоренц-инва-риантным образом
отбросить лишние компоненты (1/2, 0) (r)(0, 1/2). Поэтому мы налагаем на
поле дополнительные условия
=-5^л-0 (4.57)
или, с использованием матриц Дирака,
УЦЧ^ = 0 (4.58)
Можно построить те же типы ковариантов и инвариантов, что и в спи-норном
случае, с той только разницей, что теперь имеется еще один векторный
индекс. Инвариантами, например, будут
^II °2 ^ц/?а2^цл, Ч'мйЧ'Е,-.. • (4.59)
Используя набор векторов
vl'L стр VvL Е цр'"7, 4>Ir сГр Yvi? 6йруст (4.60)
в комбинации с оператором д^, образуем инварианты вида
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed