Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
g=-LTgL. (2.9)
Исследуем уравнение (2.9). Во-первых, вычислим детерминанты обеих его
частей:
det g= det LT det g det L, (2.10)
откуда мы заключаем, что
det L = + 1. (2.11)
Случай det L = 1 (-1) соответствует собственным (несобственным)
ПЛ. Например, ПЛ, задаваемое численно матрицей L = g, является
несобственным; физически такое преобразование отвечает заменам х° -" х°,
х1 -*-х1 , т.е. пространственному отражению. Во-вторых,выпишем компоненту
уравнения (2.6) с индексами 00:
1 = Ло ёро Ло = Ю 2 - (Л'0)2, Х2.12)
откуда следует, что | Л* 1. (2.13)
Если Л(r) г. 1, то ПЛ называют ортохронными, а А° ^ - 1 отвечает не-
ортохронным ПЛ. Таким образом, все ПЛ можно разделить на четыре категории
(см. задачу):
1) собственные ортохронные, иначе называемые ограниченны-' ми (h\) с det
L =+ 1, А° > 1;
2) собственные неортохронные (Li) с det L = -+:1; А§< - 1;
3) несобственные ортохронные (L± ) с det L = - 1; А* " 1;
4) несобственные неортохронные (L[_) с det L = - 1; Aj^ - 1.
Приведем несколько примеров.
Функционал действия
17
1).Вращения: х 0 = х°, х 1 = аЧ xi, где аЧ - ортогональная матрица.
Матрицу L можно записать в блочной форме
(2.14,
так что det L = det а , Возможны случаи det а = +1, отвечающие
собственным и несобственным вращениям, при этом L относится к Т+ и iL ,
2, Бусты: преобразования
х ° = х° ch r| - яЛзЬ г),
х'1 =-х° +X1 chr\, (2,15)
х'2.3 = х2,3
описывают буст в направлении оси L Тогда в блочной форме 2х 2 имеем
. ch r| -sh ц | v
L = (2.16)
det L = ch2 v) - sh2 т| = 1, Aq = ch г) > 1. (2.17), (2,18)
Такое преобразование принадлежит к типу L\ Отметим, что перейдя к новой
переменной v (скорости движущейся системы отсчета), связанной с г]
соотношениями
ch r| = (1 - v2)- sh г) = d(1 - V2)'1/1 , (2Л9)
мы получим более знакомую форму этого преобразования,
3 Обращение времени, определяемое как преобразование
А. О О ^ J •
= - * , х = х1 , Такое преобразование имеет det L =- 1 и До = - 1 и
принадлежит поэтому к категории
4, Полное отражение, определяемое как преобразование x'v = -xv-, В этом
случае det L = +• 1, Д° = -1 и преобразование принадлежит к категории ?++
Полное отражение можно представить как произведение пространственного и
временного отражений.
Любое преобразование Лоренца можно представить в виде произведения
преобразований указанных четырех типов (см. задачи). Следовательно, мы
можем ограничиться изучением вращений и бустов. Поскольку возможны три
вращения и три буста, по одному на каждое пространственное направление,
преобразование Лоренца характеризу-
18
Глава 1
ется шестью параметрами. Займемся построением шести соответствующих
генераторов. Рассмотрим бесконечно малое ПЛ
A^v = S^v + 6ЦУ, (2.20)
где 5 - символ Кронекера, равный нулю при ц 4 v и единице в ос-
тальных случаях. Подстановка выражения (2.20) в уравнение (2.6) дает с
точностью до 0(е)
°=-Svpef + SMp*Pv <2-21>
Используем метрический тензор для опускания индексов, например: = ёhv *v
= (*° - х). (2.22)
Тогда уравнение (2.21) принимает вид
0 =¦? уц + е |j v > (2.23)
т.е. е v - антисимметричный тензор с 4 * 3/2 = 6 (как и ожидалось)
независимыми компонентами. Введем эрмитовы генераторы L s j (X[1dv -
xvdu), где =¦( -i- , V ). (2.24), (2.25)
¦nv-'v~n."v - и dKil ' dt
Тогда можно написать
5*ц="-у- ip°Lpa x"*-eWx (2.26)
Легко видеть, что генераторы образуют алгебру Ли:
^^цу" ^ра 1 = 1 gvр ?ца - ~ igva^np + ^vp> (2.27)
которую можно отождествить с алгеброй Ли группы SO (3,1). Наиболее общее
представление генераторов SO (3.1), удовлетворяющих перестановочным
соотношениям (2.27), имеет вид
Wnvs 1 ~ *v+ ^hv" (2*28)
где Suv - эрмитовы операторы, которые образуют ту же алгебру Ли, что и и
коммутируют с ними. Эрмитовы генераторы Mij, где I, / = 1, 2, 3, сами
образуют алгебру
[Uq >Mki\ = -ibjk Мц + ipik Мц+ iSjiMilt - iSnMjif, (2.29)
отвечающую группе вращений SO (2). Можно получить более знакомое
выражение, если ввести новые операторы
= 2 eijk Mjk, (2.30)
где е г/-? - символ Леви-Чивиты, полностью антисимметричный по всем
Функционал действия
19
своим индексам, и е 123 = +• 1. (По повторяющимся латинским индексам
проводится суммирование.) Тогда
[/i , Jj • (2.31)
Введем генераторы бустов
К* = Moi . (2.32)
Из алгебры Ли следует, что
[Xi. *,-]=¦- itijkJkAJi ,Kj}= itijkKk. (2.33), (2.34)
Генераторы К. и /,• эрмитовы, но при этом К. некомпактны. Перестановочные
Соотношения можно расцепить, введя новые линейные комбинации
Ni s -у- (/" +'iKi )• (2-35)
Хотя они и неэрмитовы, т.е. /V,- t nJ, у них имеется то преимущество, что
для них выполняются простые перестановочные соотношения
[N/.tyb-fci/Atf*, (2.37)
tNit Nf\ -i (2.38)
t
Это означает, что и /V,- , и /V,- образуют алгебру Ли группы Si/ (2).
Поэтому можно воспользоваться хорошо известной теорией представлений этой
группы. Из общеизвестных результатов этой теории для (спиновой) группы
SU{2) следует, в частности, что в данном случае существуют два оператора
Казимира (операторы, которые коммутируют со всеми генераторами)
