Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
точке Р соответствуют координаты х'р, это будет функция f'(x'P),
поскольку функциональная зависимость, вообще говоря, зависит от выбора
системы отсчета. Запишем изменение функ-
^Литература помещена в конце глав. Кроме того, в конце книги имеется
аннотированная библиография. - Прим. перев.
Функционал действия
25
ции при бесконечно малом преобразовании координат в виде 5f = f '(* ')-
/¦(*)=¦ / '(* + 5ж) -/"(*) =
= f'(x) - f(x) + 8х + 0(Sx2). (4.1)
С точностью до О (6*1*) можно заменить B^f' величиной дм/. Тогда
6f = 60/ + 6*^/, (4.2)
где через 6 Qf обозначено изменение функции в данной точке х:
S0f = /¦'(*)- f(x). (4.3)
Второй член в формуле (4.2) называется переносным членом. Равенство (4.2)
можно формально записать как операторное:
5 =-50 + 6*^(Эм. (4.4)
При трансляциях в пространстве-времени локальное поле не меняется, т.е.
6/" = 0 = 60/ + ? , (4.5) или 50/ =
где Рц - оператор, опеределенный формулой (3.6). При лоренцевых же
преобразованиях ситуация более сложная, и для ее выяснения мы рассмотрим
несколько примеров.
а) Скалярное поле Построим (или представим себе) некоторую функцию
<р(ж) координат яР, принимающую одно и то же значение при измерении в
различных инерциальных системах отсчета, связанных преобразованием
Лоренца, т.е.
<р'(*') = <р(ж). (4.7)
Этим условием определяется некое скалярное поле ( по отношению к к ПЛ). В
случае бесконечно малого преобразования, используя формулы (4.7) и (4.2),
находим, что
О = 6q> = 60q> + 5яЛ (4.8)
где дается формулой (2.26). Полагая
6оФ= -_1_ 6Ра Мрд9 (4.9)
и сравнивая с (4.8), мы видим, что представление генераторов группы
26
Глава 1
Лоренца Mpv в случае скалярного поля есть просто i {xp3v - xvdp).
Это означает, что введенный ранее оператор Syv, действуя на скалярное
поле, дает нуль. Как возникает нетривиальное S цу, можно увидеть,
рассмотрев конструкцию <?ц<р (*). Заметим, что это выражение - скаляр по
отношению к трансляциям, так же как и ф, поскольку оператор производной
не меняется при трансляциях (конечно, только при однородных трансляциях).
Имеем
бг?цф = [5, <9ц]ф кд^бф. (4.10)
Так как ф - лоренцовский скаляр, величина 5ф равна нулю. Но из формулы
(4.4) мы видим, что
СМиМв0, <?<,]+¦[5*%,^]. (4.11)
Оператор 6 0 не меняет величины xv и поэтому коммутирует с дц, но к 5*v
это не относится. Вычисление последнего коммутатора дает
[б^ц]=?/<90. (4.12)
Собирая все полученные результаты, находим, что
"и'*' " 2 рст 2
где (S ) v = i (gp"gX - ga^gp)* (4*14)
рст * ц 'брр t
Как нетрудно убедиться, найденные операторы удовлетворяют тем же
перестановочным соотношениям, что и генераторы L . Сравнивая соотношение
(4.13) с канонической формой
50 (что угодно) = - - еРст Мра (что угодно). (4.15)
мы получаем представление лоренцовеких генераторов для поля дцф" Поле,
преобразующееся как д^ж), называется векторным полем. Заметим, что роль
"спиновой части" Mpv заключается в перестановке индексов.
Тензорное поле со многими лоренцовскими индексами будет преобразовываться
тоже по закону (4.13). Действие оператора S ра на такое поле будет
представляться суммой выражений типа (4.14), по одному на каждый индекс.
Например, действие оператора S рст на тензор второго ранга Вци дается
формулой
(S рст В)цу = ~ ^ (&СТ цбру - gpp^CT V ^ go уВцр - gpyBpcr )• (4.16)
Теперь уже легко построить из скалярных полей инварианты по отношению к
группе Пуанкаре. Это любые скалярные функции ф(х), такие,
Функционал действия
27
как <рп, сое <р(ж) и т.д., дид?ф), (д^)^) и т.д. (см. задачу). Но
величина будучи лоренц-инвариантной, не является пуанкаре-
инвариантной.
Спинорные представления (1/2, 0) и (0, 1/2) группы Лоренца реализуются
двухкомпонентными комплексными спинорами. Обозначим эти спиноры через ^
(*) и ул(*). Двузначные спинорные индексы яр но не выписаны. [ В
литературе спинорные индексы L-типа отмечают точкой сверху, а индексы /?-
типа пишут без точки.] Запишем преобразование спиноров в виде
ГДе ^R,L - матрицы 2х2 с комплексными элементами. В случае когда
преобразование является вращением, явный вид матрицы д известен из
спинорных представлений группы SU{2):
Здесь со1 - параметры вращения, а ст ' - эрмитовы 2х 2-матрицы Паули:
Сопоставив таким образом генераторы вращений с 1/2а * ( мы можем записать
в такой же 2х 2-форме и генераторы бустов. Нам уже известно, что
генераторы Ki не должны быть унитарными, так как расщепление на две
S[/(2)-rpynnbi неунитарно. Представление генераторов в виде
удовлетворяет всем требуемым перестановочным соотношениям. Поэтому
б) Спинорные поля
У(ж) =ЛЬЧ^*) для (1/2, 0)
4^ (ж) - Тл'(ж') -ЛлТл(*) Для (0. 1/2).
<7
^L(R) = е 1 Ю (вращение).
(4.17)
(4.18)
Эти матрицы удовлетворяют соотношению о 1 а/ = 5' i + it11ко
(4.19)
К = -
2
о
(4.20)
AL = е ст'(ю~г''>
(4.21)
28
Глава 1
где v - параметры буста, связанные с генераторами К . Поскольку
представления (1/2, 0) и (0, 1/2) связаны между собой преобразованием
четности, можно, зная построить Лд, изменив знак параметров буста:
