Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 5

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 98 >> Следующая

отношению к вращениям) с законом сохранения (углового момента). Суммируем
уроки, извлеченные нами из этого элементарного примера: 1) классические
уравнения движения получаются из условия экстремальности действия S;
2) граничные условия должны задаваться извне; 3) симметрии действия 5
находятся во взаимном соответствии с сохраняющимися величинами и поэтому
отражают основные симметрии физической систе-
14
Глава 1
мы.Пример относился к классической механике. Его можно обобщить и на
классическую теорию поля, например максвелловскую электродинамику или
общую теорию относительности Эйнштейна.
Действие есть всего лишь некая математическая конструкция, и число
возможных конструкций такого рода неограниченно. Но действие должно
описывать физический мир, который, как мы полагаем, устроен совершенно
определенным образом. Следовательно, среди многих возможных должен
существовать один очень специальный ФД, правильно описывающий то, что
происходит на самом деле. Возникает вопрос: как отличить это единственное
действие от других действий? Ответ нам подсказывает теорема Нетер,
указывающая на связь между симметриями системы и симметриями функционала.
Нам хорошо известны некоторые симметрии,вроде тех, которые вытекают из
специальной, теории относительности, и из всех возможных действий мы
должны выбрать только те, которые отражают эти симметрии. Другие
симметрии, вроде сохранения электрического заряда, еще более ограничивают
вид искомого ФД. Есть основания полагать, что природа предпочитает
определенные типы действия, которые обладают всякими инва^ риантностями,
меняющимися от точки к точке. Подобные инвариантности приводят к
калибровочным теориям, о которых будет идти речь далее в этой книге. Пока
что научимся строить ФД для систем, 'удовлетворяющих законам специальной
теории относительности. Формальным признаком таких систем является
инвариантность относительно преобразований, порождаемых неоднородной
группой Лоренца или, что то же, группой Пуанкаре, к изучению которых мы и
перейдем.
Задачи
Замечания: 1) задачи приведены в порядке возрастающей сложности;
2) решайте задачи, пользуясь функционалом действия, даже если вам знакомы
более элементарные способы решения.
А. 1). Докажите, что при движении, описываемом действием
S = • f dt JL тх2 , х = dx/dt,
2
сохраняется импульс.
2) Предполагая, что V(xi ) = v [ 1 - cos (г/ о) ], найдите выражение
для скорости изменения импульса.
Б, Выведите выражение для скорости изменения углового момента точечной
частицы, движущейся в произвольном потенциале.
*В. Найдите инвариантности ФД в случае точечной частицы, дви-
Функционал действия
15
жущейся в потенциале V=- а/г. Указание: ньютоновские орбиты не
прецессируют, что приводит к нетривиальной сохраняющейся величине,
вектору Рунге - Ленца.
*Г. Считая ФД инвариантным относительно однородных трансляций во времени,
выведите выражение для связанной с этим сохраняющейся величины. Возьмите
в качестве примера точечную частицу, движущуюся в независящем от времени
потенциале. Что произойдет если потенциал будет зависеть от времени?
§ 2. Группа Лоренца (бегпый обзор)
В специальной теории относительности постулируется, что скорость света
одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что если
xi - координаты светового сигнала в момент времени t в одной системе и
тот же самый световой луч регистрируется в точке хГ в момент времени t' в
другой системе, то должно выполняться равенство
с2*2 - ж,-*,- =c2t'2-xrx[. (2.1)
Множество линейных преобразований, связывающих (ж' ,г') с (ж,- , t) и
сохраняющих неизменным приведенное выше выражение, образует группу,
называемую группой Лоренца (см. задачи). Выберем систему единиц, в
которой выполняется равенство с = 1, и введем обозначения
ц = 0, 1, 2, 3, где х° = t, (ж1, ж2, ж3) =-(ж* ) = х,
т.е. хр = (х°, ж1 ) = (t, х), i = 1, 2, 3.
В этих компактных обозначениях величину s 2 можно записать в виде *2=
ж°ж<>_ ж1'ж1' = жИжvg^v, (2.2)
где метрический тензор gMV= gv[i равен нулю во всех случаях, кроме случая
ц = v, причем g00 = - gn = -g22 = - g^ = 1. Если нет особых оговорок, то
по повторяющимся индексам проводится суммирование. Теперь уравнение (2.1)
принимает вид
g^x^xv = gMV x'"x'v . (2.3)
Рассмотрим множество линейных преобразований
ж'р = ДР xv = Ag ж0 + ДР xl , (2.4)
сохраняющих s2. ГЪ этой причине величины ДР должны удовлетворять условию
8\ivx'ixx'v = guv Л" хРх° = gpff жРж°. (2.5)
16
Глава 1
Поскольку соотношение (2.5) должно выполняться при любых х^.мы имеем
Spa ='ёр\> Лр Лт • (2.6)
Во многих отношениях удобнее матричные обозначения: будем paw* сматривать
Как вектор-столбец и обозначать его через х, a gpv -как матрицу,
обозначаемую через g. Тогда s2 = xTgx, x' = Lx, (2.7), (2.8)
где L - матрица, эквивалентная коэффициентам а индексом Т обозначена
транспонированная матрица. Чтобы матрицы L были матрицами преобразований
Лоренца (ПЛ), они должны удовлетворять соотношению
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed