Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 8

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 98 >> Следующая

ничего удивительного, поскольку так и должно быть в случае 4-векторов.
Подобное связывание группы трансляций с группой Лоренца называется
полупрямым произведением. Тем не менее, как явствует из самого названия,
преобразования ГП образуют группу (см. задачу А). Чтобы получить алгебру
генераторов, заметим, что изменение координат мировой точки х при
бесконечно малой трансляции можно записать в виде
5х^ = i е Р РрХ^ = е (3.4), (3.5)
где ем - параметры, а
^p=-i<9p (3.6)
- эрмитовы генераторы этого преобразования. Очевидно, что они ком-
мутируют друг с другом:
[Рц, PJ = 0, (3.7)
но не коммутируют (ибо они 4-векторы) с генераторами группы Лоренца:
Р9 ] ~ 1 ?hpPv + г'?чрРц" <3-8)
Перестановочными соотношениями (3.7) и (3.8), а также перестановочными
соотношениями для ilf определяется алгебра Ли группы Пуанкаре. "Длина"
РрРР вектора Рр, очевидно, инвариантна по отношению к преобразованиям
Лоренца, а потому в силу формулы (3.7) является оператором Казимира. Ке
столь очевидно, как построить другой оператор Казимира, но, как мы только
что заметили, таким оператором может служить длина любого 4-вектора,
коммутирующего с генераторами Рц. Как раз таким вектором является 4-
вектор Паули - Любинского 1Гм;
(3>9)
С учетом формул (3.7) и (3.8) и антисимметрии символа Леви-Чивиты
Функционал действия
23
получаем
[Ги, РР] = 0, (3.10)
а поскольку Гр преобразуется как 4-вектор, мы имеем
Гр] = • - igpp Гу + 1#урГц. (3.11)
Поэтому длина Гп Гр данного вектора является инвариантом Казимира. Самые
общие выражения для десяти генераторов группы Пуанкаре таковы:
Рр = - iSip, Мру =¦; - *у ;>ц) H- Spv,
так что
Гм = - ~~ SpCTdy. (3.12)
Теория представлений ГП была разработана 1° Ннгнером. Ее представления
распадаются на три класса.
1. Собственное значение оператора РрРР = т2 есть действительное
положительное число. Тогда собственное значение оператора
Г ГР равно - m2s(s н-1), где s - спин, принимающий дискретные значения 5
= 0, 1/ 2, 1, ... . Такие представления индицируются массой т и спином s.
Состояния внутри представления различаются третьей компонентой спина s3
=--s , - s + 1, ... , s - 1, s , а также непрерывными собственными
значениями Pi . Физически это состояние соответствует частице массой т,
со спином s, трехмерным импульсом р ¦ и проекцией спина s3, Массивные
частицы со спином s имеют 2s + 1 степеней свободы.
2. Собственное значение оператора РрРр равно нулю, что отвечает частице с
нулевой массой покоя. При этом собственное значение оператора Гр Г р тоже
равно нулю, а так как РрГр = 0, операторы
Г и Рр пропорциональны друг другу. Соответствующий коэффициент
пропорциональности называется спиральностью и равен ±s, где s = 0, 1/2,
1, 3/2, ... - спин представления. Таким образом, безмас-совые частицы со
спином s ф 0 имеют две степени свободы. Они дополнительно различаются
тремя значениями их импульса вдоль осей х, у, z. Примером частиц,
попадающих в эту категорию, могут служить фотон со спином 1 и двумя
состояниями со спиральностью ± 1, нейтрино со спиральностью ± 1/ 2 и
гравитон с двумя состояниями поляризации ± 2.
3. РрРР = 0, но при этом спин непрерывен. Длина вектора Г равна квадрату
положительного числа, взятому со знаком минус. Этот тип представления
описывает частицу с нулевой масоой покоя и с бесконеч-
24
Глава 1
ным числом состояний поляризации, индицируемых непрерывной переменной.
Такие представления, по-видимому, не реализуются в природе.
За подробностями мы отсылаем читателя к статье В. Баргмана и Ю.Вигнера [
1 ] л : Существуют также "тахионные" представления с РрРР < 0, которые мы
не рассматриваем.
Имеются и другие представления ГП, но они неунитарны. Квантовая механика
допускает отождествление с состояниями частиц только унитарных
представлений. Вигнеровские представления бесконечномерны, что
соответствует частицам с неограниченным импульсом. Полезно сравнить этот
случай с тем, что мы получили для группы Лоренца, где речь шла о
конечномерных, но неунитарных представлениях. Введя в рассмотрение поля,
мы сможем использовать эти представления.
Задачи
A. Покажите, что преобразования (3.2) образуют группу.
B. Покажите, что если РрРР = т2 > О, то собственное значение оператора
WpW Р действительно равно - m2s (s +1),
*В. Найдите представление генераторов ГП на пространственноподобной
поверхности х0 = 0 в случае, когда т2 = 0 и s = 0.
Указание. Положив х0 = 0, следует выразить сопряженную величину Р0 через
оставшиеся переменные. Для этого используйте оператор Казимира. Затем
выразите все генераторы ГП через xi , Pi и т2. См. по этому поводу статью
[ 2].
*Г. Решите предыдущую задачу в случае пространственноподобной по9ерхности
х° = х3.
** Д. Решите задачу Г в случае, когда s*0Hni2>0.
§ 4. Локальные поля и преобразования группы Пуанкаре
Рассмотрим произвольную функцию пространственно-временной точки Р. В
одной инерциальной системе отсчета, в которой точке Р соответствуют
координаты хР, это будет функция f (хР); в другой системе отсчета, где
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed