Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
возбуждении. В гл. 11 были изложены результаты исследования
параметрического резонанса в осцилляторе, описываемом, например,
уравнением Матье (11.8). В результате развития параметрической
неустойчивости в системе нарастают колебания; линейное затухание здесь,
очевидно, не существенно: оно лишь сужает полосу возбуждения, не приводя
к ограничению амплитуды. При больших амплитудах колебаний в осцилляторе
может уже оказаться существенной его нелинейность. проявляющаяся, в
частности, в зависимости частоты от амплитуды: со2{х) = +/За:2. Тогда
колебания параметрически воз-
буждаемого осциллятора уже не могут расти безгранично, несмотря на
параметрический инкремент. Появляется добавка к частоте, и из-за сдвига
частоты, о котором речь уже шла, условия параметрического
288
Глава 13
резонанса нарушаются. Происходит ограничение амплитуды (так называемый
расстроенный механизм ограничения).
Перепишем уравнение такого осциллятора в виде
х + и> q(1 - fibcosu>pt)x + ii[3x3 + 2/j,Xx = 0. (13.14)
где А характеризует линейные потери. При основном параметрическом
резонансе должно выполняться условие и)р = 2о>0 + tLe- Применяя к (13.14)
метод Ван-дер-Поля и отыскивая решение в виде х = 2.4(1) cos[wp?/2 +
ip(t)\, получаем после усреднения следующие уравнения для амплитуды и
фазы:
А = -/iXA - sin2y>, ф = -це + Щ~А2 - cos2y>. (13.15) о а о
Из системы уравнений (13.15) видно, что даже при отсутствии линейной
расстройки (е = 0) есть расстройка, пропорциональная квадрату амплитуды.
Она приводит к такому сдвигу фазы, что параметрический инкремент
обращается в нуль, и амплитуда таким образом ограничивается.
13.4. Перекрытие нелинейных резонансов
Результаты исследования свойств нелинейного резонанса, которые мы методом
Ван-дер-Поля получили в предыдущем параграфе, справедливы в случае, когда
в нелинейном осцилляторе реализуется лишь один единственный
(изолированный) резонанс. При этом все события, если их рассматривать в
трехмерном фазовом пространстве (х. х. t), развиваются в узком кольцевом
слое. Проекция такого слоя на плоскость хх представляет собой замкнутую
полосу, локализованную вокруг той траектории автономного осциллятора,
период 2тт/ш движения по которой точно равен или кратен периоду 27г/П
внешнего возмущения. В отличие от случая линейного осциллятора резонанс в
нелинейном осцилляторе возможен практически при произвольной частоте
периодического воздействия, если, конечно, нелинейность достаточно
велика. Это объясняется неизохронностью и ангармоничностью колебаний
нелинейного осциллятора (неизохронность, как мы зиаем, это зависимость
частоты колебаний от энергии, ангармоничность - присутствие в спектре
периодических колебаний высших гармоник).
Если на осциллятор, например все тот же маятник, действует малое
гармоническое возмущение, то с точностью до эффектов второго порядка
реализуется именно изолированный резонанс - резонанс только
13.4. Перекрытие нелинейных резонансов
289
при определенном уровне амплитуды А, а частота и>(А) певозмущен-ного
движения будет примерно равна частоте S7 возмущения. Вблизи резонанса
частота и амплитуда колебаний могут меняться в некоторых пределах АА,
Alp, которые определяют ширину резонанса. Резонансы более высокого
порядка типа
пи>(А) яз mfl, (13.16)
где пит - целые, имеют и более высокий (т + п)-й порядок малости по
амплитуде возмущения и величине нелинейности, и их можно не учитывать.
Ситуация качественно меняется, когда малое периодическое возмущение не
гармоническое, т. е.
-Fbh(t) = ^2 An cos(nilt). (13.17)
П
При этом, как легко догадаться, уже в одном и том же приближении условие
резонанса (13.16) может быть выполнено сразу для нескольких различных
значений А (им, естественно, будут соответствовать различные значения п,
ш), т. е. в системе одновременно будут существовать несколько нелинейных
резонансов, причем каждая гармоника определяет свой резонанс в
соответствующей области фазового пространства. Эти резонансы могут быть
изолированными - не влияющими друг на друга, но могут и перекрываться. К
чему приведет такое перекрытие резонансов? Вопрос нетривиален [12, 13,
20. 21]. и здесь мы попытаемся ответить на него лишь качественно, отложив
более детальное обсуждение до гл. 22. Однако прежде поясним, как в
нелинейном осцилляторе появляются резонансы на гармониках.
Сделаем это на примере модели
х + Uq (1 4- ах + /Зх2)х = A cos Ш,
воспользовавшись для ее анализа теорией возмущений. Искомое решение
представим в виде
x(t) = x^(t) + x^(t) + x^(t) + ... , x^ = A cos cut,
частота ш сама представляется в виде разложения и> = и>о + +
+о/2) + .... Перенося малую расстройку ? = 1 - Wq/w2 вместе с нелинейными
возмущениями в правую часть, в качестве исходного будем иметь уравнение
(uJo/u>)2x + u>qX = - ausgx2 - /Зш^х3 - ?x + A cos Sit. (13.18)
290
Глава 13
Пусть для примера (I = ш0/3 + Аш. Тогда в первом приближении резонанса не
будет. Вынужденное решение x^(t) ~ cos[(w0/3 + Au>)t] имеет частоту,
