Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 847

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 841 842 843 844 845 846 < 847 > 848 849 850 851 852 853 .. 942 >> Следующая

Действительно, в общем виде система двух уравнений первого порядка с
малым параметром ц при производной имеет вид цх = Р(х, у),у = Q(x, у).
Уравнения быстрых движений имеют вид у = const, fix = Р(х: у)\ уравнения
медленных движений имеют вид Р(х. у) = 0,у = Q(x, у). Кривая медленных
движений Р(х, у) = 0 является геометрическим местом состояний равновесия
для быстрых движений. Очевидно, что все участки этой кривой будут
устойчивы по отношению к быстрым движениям, если dP(x. у) < 0 для всех
точек кривой.
В заключение заметим, что, поскольку практически весь опыт классической
теории (по крайней мере для систем с немалой нелинейностью) был связан с
анализом автоколебаний на фазовой плоскости, возможность установления
периодических движений, отвечающих предельному циклу, ассоциировалась
исключительно с такими диссипативными системами, в которых незатухающие
колебания совершались лишь за счет непериодических источников энергии.
Еще несколько лет назад Никто бы не решился назвать автогенератором
нелинейный ос-
14.3. Релаксационные автоколебания
305
циллятор с трением, находящийся под действием периодической силы:
х + -ух - ах(1 - х2) = /sinwi. (14.10)
Однако это - автогенератор: такой нелинейный осциллятор демонстрирует
незатухающие колебания, параметры которых (интенсивность, частота, а в
более общем случае спектр и т. д.) не зависят от конечного изменения
начальных условий и слабо зависят от изменения внешней силы. В частности,
в фазовом пространстве хх неавтономной системы, описываемой уравнением
(14.10), имеются устойчивые периодические движения, которым, если
смотреть стробоскопически через период внешней силы, соответствуют (в
отображении Пуанкаре) устойчивые неподвижные точки.
Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным
фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно
новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума -
диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания,
колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников.
Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой
области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических
автоколебаний - это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной
теории. Почему же оно появилось только сейчас? Дело в том, что со времен
Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером
нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных
диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные
многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодическпе движения
были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов.
По-видимому, обнаружение сложных предельных циклов, а затем и бифуркаций,
показывающих дорогу к их дальнейшему усложнению, уже могло бы послужить
причиной расширения представлений об автоколебаниях. Однако фактически
это произошло несколько позже, когда появились результаты численных
экспериментов, доказывающих существование "непериодических разовых
потоков" в диссипативных неравновесных системах [6]. Практически в то же
время в абстрактной теории динамических систем появились новые
математические объекты - сложные аттракторы, названные Рюэлем и Такенсом
"странными".
Примером странного аттрактора - притягивающего множества, на котором нет
устойчивых траекторий и где все они ведут себя сложно
306
Глава 14
и запутанно, - служит притягивающая структура из седловых циклов (когда
все траектории, сматывающиеся с них, стремятся к циклам той же
структуры).
Замечательно, что сейчас, когда сформировалась новая точка зрения на
стохастические автоколебания, они обнаруживаются в очень простых, по
существу, классических системах, например таких, как связанные
автогенераторы или релаксационный генератор с полутора степенями свободы.
Их находят, потому что теперь знают, что именно искать.
Глава 15
Нелинейные динамические системы (общие свойства и методы исследования)
15.1. Основные типы траекторий. Грубость
(структурная устойчивость) динамической системы
Начнем с систем с одной степенью свободы. Такие системы, описываемые
уравнением второго порядка, качественно могут быть полностью исследованы
с помощью анализа поведения траекторий на фазовой плоскости [1-6].
Мы уже привыкли к фазовым портретам линейного осциллятора без трения
(состояния равновесия типа "центр" или "седло"), с малым затуханием
(состояние равновесия типа "фокус"), с большим затуханием (состояние
равновесия типа "узел"). Линейный осциллятор подробно обсуждался в гл. 1.
но для дальнейшего изложения полезно еще раз взглянуть на все возможные
фазовые портреты линейных автономных систем - они представлены на рис.
15.1 а-г. Исследование нелинейных систем мы начали в двух предыдущих
главах с рассмотрения динамики нелинейного осциллятора и простейших
моделей автоколебаний. Их уже достаточно сложные фазовые портреты также
Предыдущая << 1 .. 841 842 843 844 845 846 < 847 > 848 849 850 851 852 853 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed