Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
автоколебаний в системе.
U
з)
Рис. 14.3. Фазовые портреты, соответствующие уравнению (14.5) при
различных значениях параметра нелинейности у: а - квазигармонические
колебания (у = 0,1); б- сильно несинусоидальные (у = 1): в --
релаксационные (у = 10)
Предельные циклы на рис. 14.3 содержат внутри особую точку, причем для у
= 0,1 и у = 1 эта точка является неустойчивым фокусом, а для у = 10 -
неустойчивым узлом. Форма автоколебаний при этом меняется от
квазисинусоидальной до релаксационной. Величина у характеризует
нелинейность в системе таким образом: чем больше нелинейность в системе,
тем больше форма колебаний в ней отличается от синусоидальной. В
физической литературе величину у. иногда называют прочностью предельного
цикла - при малом у траектории слабо притягиваются к циклу, при у 1 такое
притяжение очень сильно,
302
Глава 14
Рис. 14.4. Осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму
автоколебаний в системе, описываемой уравнением (14.5). Они соответствуют
фазовым портретам на рис. 14.3: у = 0,1 (а), у = 1 (б), у = 10 (в)
в)
т. е. цикл "прочный". В случаях у <С 1 и у !§> 1 удается достаточно
просто решить задачу об автоколебаниях в системе приближенными
аналитическими методами [3-5].
14.3. Релаксационные автоколебания. "Быстрые" и "медленные" движения
При сильной нелинейности (у 3> 1) колебания становятся релаксационными,
состоящими из участков быстрых и медленных движений. Для нахождения таких
разрывных колебаний Мандельштам и Папалек-си предложили использовать
"гипотезу скачка", учитывающую, что при перескоках энергия меняется
непрерывно. В качестве примера рассмотрим уравнение Рэлея
d2y/dt2 - е[1 - (dy / dt)2\dy / dt + у = 0.
где е - велико. Введением нового времени т = t/e и переменной х = у/е
можно перевести параметр е в коэффициент при старшей производной:
е~2х - (1 - х2)х + х = 0. (14-8)
Теперь при старшей производной стоит малый параметр ц = 1/е2- Попытаемся
найти асимптотическую форму решения уравнения (14.8) при /j, ->• 0.
Запишем уравнение (14.8) в виде системы двух уравнений первого порядка:
х = у, ГУ = (1 - У2)У ~ х. (14.9)
Заметим, что при г = 0 фазовым пространством системы будет
прямая х. закон движения по которой определяется видом функции
14.3. Релаксационные автоколебания
303
у = f(x), приведенной на рис. 14.5 а. В силу неоднозначности этой функции
направление движения в интервале -х' < х < х' однозначно не определено
(рис. 14.5б). Другими словами, система получилась динамически
противоречивой: единственное состояние равновесия при х = 0 неустойчиво,
а куда переходит система из точек х =
= ±ж' - неизвестно.
Попробуем снять это противоречие, учитывая, что параметр ц имеет хотя и
малое, но конечное значение. Уравнение интегральных кривых системы (14.9)
имеет вид
dy/dx = ((1 - у2)у - х\/(цу).
При ц->0 вне кривой х = (1 - у2)у'dy/dx -> сю или dx/dy^ 0. Интегральными
кривыми будут прямые х -> const, а направления движения по ним
определяются вторым уравнением системы (14.9). Из последнего следует, что
скорость движения при /j, ->• 0 очень велика. Это так называемые
"быстрые" движения. "Медленные" движения происходят на самой кривой у( 1
- у2) = ж; закон движения определяется первым уравнением системы (14.9).
Фазовый портрет изображен на рис. 14.6 а. Верхняя и нижняя ветви кривой
медленных движений устойчивы по отношению к быстрым движениям, средняя
неустойчива. В точках х ± х' происходит "скачок" с одной ветви кривой
у(х) на другую. При любых начальных условиях система выходит на
предельный цикл abed, состоящий из участков "быстрых" и "медленных"
движений. При этом система совершает релаксационные колебания, форма
которых изображена на рис. 14.6 6. Период колебаний Т можно найти,
подсчитав время движения по предельному циклу [5]. Временем быстрых
движений можно пренебречь. Из уравнений медленных движений х = у, (1 -
у2)у = х найдем
уъ
Л dx d[(l~y2)y\ nfd{y~y3) 0Л .. 3..2\vt
dt=T = У ' T = 2J У =2(1пу-2У ) Уа-
Уа
Таким образом, учет малого параметра оказался существенным для выяснения
динамики системы. Всегда ли это так? Ясно, что если
Рис. 14.5. Фазовое пространство для системы, описываемой уравнением
(14.9) при \i = 0: а - функция у = у(х), определяющая закон движения
вдоль х: б - направления движения в интервале -х < X < х'
304
Глава 14
п
и t
а) б)
Рис. 14.6. Фазовый портрет (а) и форма (б) релаксационных колебаний
введение малого параметра не повышает порядка уравнений, то учет его,
если система в определенном смысле устойчива (см. гл. 15), не играет
роли. Но даже если порядок уравнения повышается, то это оказывается
несущественным в том случае, когда вся кривая медленных движений
устойчива по отношению к быстрым движениям - при этом изображающая точка
на фазовой плоскости очень быстро придет в малую (порядка /г) окрестность
кривой медленных движений, и динамика системы будет определяться только
медленными движениями [4]. Аналитическое условие этого легко получить.
