Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
С = const, получить при проецировании сечений на плоскость хх фазовый
портрет (рис. 13.5 б). Легко убедиться, что в двумерной консервативной
системе могут существовать лишь состояния равновесия типа "седло" и
"центр".
Рассмотрим теперь поведение ансамбля из большого числа
невзаимодействующих нелинейных осцилляторов. Это могут быть, например,
электроны, движущиеся в поле продольной электрической волны (поведение
ансамбля линейных осцилляторов мы рассматривали в гл. 3). Первые задачи
подобного рода появились в конце 60-х годов в высокочастотной электронике
при исследовании системы возбужденных нелинейных осцилляторов как
классической активной среды для мазеров на циклотронном резонансе [5] и в
физике плазмы, в частности, в связи с проблемами ускорения и нагрева
заряженных частиц. Будем считать,
280
Глава 13
Рис. 13.5. Фазовый портрет нелинейного осциллятора, соответствующего
экологической задаче о взаимодействии двух биологических видов -
вегетарианцев и хищников (а) и к объяснению построения фазового портрета,
если известен интеграл движения 8Г{х, х) = С (б)
что функция распределения электронов по скоростям в потоке известна и
изображается кривой, приведенной на рис. 13.6. В системе координат,
связанной с волной <р = <ро cos(u>t - кх), все частицы разделятся на
захваченные и пролетные. Тем электронам, у которых скорости лежат в
интервале с границами и/к ± (2eipo/m) l'1, не хватает энергии, чтобы
преодолеть потенциальный барьер и они колеблются в потенциальной яме
волны: те же, у которых скорости лежат вне этого интервала, волну почти
не замечают (см. рис. 13.4).
Рис. 13.6. Функция распределения электронов по скоростям: а - появление
осцилляций в поле периодической продольной волны; б - - образование
плато: в - распределение электронов по скоростям в системе плазма-пучок
Каждый г-й электрон в поле синусоидальной волны ведет себя как маятник:
Xi + Wq sina:,- = 0 (г = 1, 2, ... , N), Wq = k2eip0/m. (13.8)
Захваченным электронам соответствуют колебания маятника, а пролетным -
вращения (см. рис. 13.4). Таким образом, частицы в поле
13.2. Качественное и аналитическое описание
281
волны представляют собой ансамбль тождественных нелинейных осцилляторов,
различающихся лишь начальными значениями энергий. Как будет вести себя
ансамбль во времени? Все зависит от функции распределения электронов по
энергиям или по скоростям - функции f{v).
Рис. 13.7. Эволюция фазового объема в ансамбле невзаимодействующих
электронов-осцилляторов
Поскольку взаимодействие осцилляторов пока не учитывается, ответ на
поставленный вопрос получить довольно просто, рассматривая движение
осцилляторов на фазовой плоскости. Выберем начальный фазовый объем в виде
области, ограниченной сепаратрисами на плоскости хх (рис. 13.7). Если
(df/dv)"-u/k < 0, то при t = 0 большая часть захваченных частиц
располагается в нижней половине области. Со временем из-за неизохронности
осцилляторов эта область превратится в закрученную спираль, число витков
которой непрерывно увеличивается. Следовательно, число частиц с разными
скоростями будет непрерывно меняться, и функция распределения f(v) в
интервале Дп начнет пульсировать, становясь все более и более изрезанной
(см. рис. 13.6 а). Через достаточно большое время все осцилляторы должны
снова собраться в начальный фазовый объем, поскольку движение
консервативной системы (13.8) из N осцилляторов обратимо. Физически,
однако, очевидно, что, как бы долго мы не ждали, чуда не произойдет: из-
за сколь угодно слабого взаимодействия частиц друг с другом и с волной
частицы перемешаются, т. е. равномерно заполнят всю область внутри
сепаратрис (эту область называют иногда "кошачьим глазом"). При этом
число частиц, двигающихся быстрее волны (х > 0), станет равным числу
частиц, двигающихся медленнее волны (х < 0), и на функции распределения
образуется плато (см. рис. 13.6 б). Поскольку средняя кинетическая
энергия частиц при таком перемешивании возрастает, синусоидальная
282
Глава 13
волна, в которой колеблются частицы, теряет часть своей энергии на
ускорение частиц. Такую потерю энергии монохроматической волной называют
нелинейным затуханием Ландау (см. [6]).
Если функция распределения частиц по скоростям неравновесна, как,
например, в системе электронный пучок - плазма, то возможен и обратный
процесс - усиление волны конечной амплитуды. Когда фазовая скорость волны
попадает в интервал скоростей, соответствующих левому склону
неравновесной функции распределения (см. рис. 13.6е), то нарастающая в
результате линейного усиления Ландау (медленных частиц, отбирающих у
волны энергию, меньше, чем быстрых - отдающих) волна увеличивает свою
амплитуду и захватывает пролетные частицы. Этот процесс усиления длится,
очевидно, только до тех пор, пока числа быстрых и медленных частиц,
соответствующих левому склону функции f(v). не выровняются и волна не
превратится в нелинейную стационарную волну (квазилинейная релаксация).
