Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
далекую от собственной частоты осциллятора. Однако уже во втором
приближении из-за нелинейности появятся слагаемые типа {ж^}3 ~ cos[3(w0/3
+ Дш)?], т. е. в правой части уравнения для уже будет резонансная сила на
частоте и>о + ЗДо; (ее амплитуда пропорциональна Л3), и, следовательно,
возникнет резонанс параметрического типа: соответствующая гармоника
появляется благодаря произведению ж^ж^.
Для исследования явления перекрытия резонансов удобно описывать
нелинейный осциллятор в переменных "действие - угол". Поясним подробнее
введение этих новых переменных.
В гл. 1 мы вводили динамические переменные р и q, которые позволили
записать уравнения движения гармонического осциллятора в канонической
форме:
Пусть теперь гамильтониан имеет вид 3^(q,p,t) = M'o(q,p) + M'i(q,p,t).
Перейдем к новым переменным 9 (вместо q) и I (вместо р) таким, чтобы
уравнения движения оставались каноническими с новым гамильтонианом Ж'(1,
t):
Определим переменные I и 9, следуя [10]. Для уравнений Гамильтона
справедлив принцип наименьшего действия:
(координаты и импульсы варьируются независимо). Для новых переменных
Соотношения (13.21) и (13.22) эквивалентны друг другу, когда
подынтегральные выражения различаются на полный дифференциал некоторой
функции F координат, импульсов, времени. Тогда после элементарных
преобразований получим d(F + 19) = pdq + 9 dl + (Ж1 - Ж) dt.
(13.21)
(13.22)
13.4. Перекрытие нелинейных резонансов
291
Функция Ф(д, I, t) = F + 19 называется производящей [11]. Используя ее,
находим
р = дФ/dq, в = дФ/д1, Ж' = Ж + дФ/дЬ. (13.23)
Пусть сначала Ж' не зависит от t и в. Из (13.20) следует, что 1 = 0, а в
= wt + ip, где oj{I) = дЖ'/д1, ip - постоянная. Таким образом, новая
переменная I сохраняется в процессе движения. Величина в = = дФ/д1
называется угловой переменной (или просто углом). Ее приращение А9 за
период движения равно 2л, т. е. §{дв/dq)i=const dq = 2л. Но из
определения в видно, что дв/dq = д2Ф/(dldq). Тогда с учетом первого
уравнения из (13.23) получим
"-mi'*-*-
Из последнего соотношения следует определение переменной
I = (2л)-1 j) pdq, (13.24)
которая называется переменной действия (или просто действием). На фазовой
плоскости pq для замкнутой траектории условие I = const означает, что
сохраняется площадь 2л/, ограниченная этой траекторией. В частности, для
гармонического осциллятора, описываемого уравнениями (13.19), фазовая
траектория есть эллипс р2/2 + uj2q2/2 = Ж с полуосями а = (2Ж0)1^2 и Ь
= (ЪЖо/ш2)1/2, а его площадь S = тгаЬ =
= 2-к(Ж0/ш), т. е. I = Жо/из - адиабатический инвариант, обсуждав-
шийся в предыдущей главе.
Рассмотрим теперь возмущенную систему с гамильтонианом
Ж{1, в, А) = Жо(1) + рУ{1, в, А), /и"1. (13.25)
Пусть возмущение гамильтониана является периодическим и по в, и по А с
периодом 2л; А характеризует внешнее воздействие с частотой 12 = А.
С учетом (13.20) и (13.25) уравнения движения осциллятора в
"невозмущенных" переменных запишутся следующим образом:
i = -дЖ'/дв = -pdV{I, в, А)/дв, (13.26)
в = дЖ'/дI = д(Ж0 + pV)/dI = ш(1) + pdV{I, в, А)/д1, , (13.27)
292
Глава 13
где w(I) = дЖо/д1 - частота нелинейных колебаний (покажите это сами,
использовав определение (13.24)). Будем характеризовать неизохронность
осциллятора параметром (см. [10])
а
I du>
uj dl
т(дЖ0 V 91
<1 (ОЖЛ = 1 ВРЖо (дЖ0 dl V 91 ) 2 д(12) \ дР
(13.28)
Учитывая периодичность возмущения по в и А, разложим цУ в двойной ряд
Фурье:
fiV{I, в, А) = ^[Ут;П(1)/2] ехр[г(тоА + пв)] + к. с. (13.29)
771, П
Условием резонанса т-й гармоники осциллятора с п-й гармоникой внешней
силы является равенство, аналогичное (13.16):
то12 4- пи) " 0, (са, 12 > 0).
(13.30)
Когда резонанс один (то, я = ±1 и ш й 12), в сумме (13.29) останутся два
слагаемых: одно - резонансное с аргументом А - в, второе -
высокочастотное возмущение с аргументом А + в. Оставим в (13.20) только
резонансное слагаемое и перепишем уравнения (13.26) и (13.27) в виде
I - Г'Ут
д
cos(toA + пв) = цпУтп sin фп
тпдв~
Фтп = тк + пв - то 12 + nu)(I) + fin(dVmn/dI) cos фтп,
(13.31)
где фтп = тоА + пв - резонансная фаза. Пусть точному резонансу (фтп = 0)
соответствует значение I = /р, причем |7 - 7Р| = |Д7| <С 1Р. При таком
допущении независимо от конкретного вида функций и)(1) п Vmn{I)
существует сохраняющийся универсальный гамильтониан (ш(/р) ф 0)
Жу = n(dn)/dI)ip(AI)2 / 2 + finVmn (/р) cos фтп • Покажем это. При I = 1р
ip = 0, то!2 + пш(1р) + /j.n9Vmn/dI = 0. Вычтем (13.33) из
соответствующих уравнений (13.31): AI - ЦПУтп sin фтп;
Фтп = п{ы{1) - и)(1р)] + ЦП
9Ут,
81
/
• COS 'фтп
9Vmn(Ip)
01
(13.32)
(13.33)
(13.34)
13.4. Перекрытие нелинейных резонансов
293
Если \А1\ <С 7Р, ш(1) - ш(7р) " (dw/dI)i=ipAl = aw{Ip)A/Ip и нелинейность
умеренная, т. е. /( < а С 1 //и., то слагаемым, пропорциональным (I, во
втором из уравнений (13.34) можно пренебречь. Поэтому окончательно имеем
Из (13.35) следует, что гамильтониан (13.32) не зависит от времени.
