Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
неизохронный, большим энергиям соответствует уже другая частота. В
результате система выходит из резонанса и, начиная с некоторой амплитуды,
осцилля-
13.3. Нелинейный резонанс
285
тор перестает замечать внешнюю силу. Выход из резонанса происходит, таким
образом, за счет нелинейного сдвига частоты и> = ш(А).
Что может быть качественно нового в нелинейном осцилляторе при резонансе?
В линейном осцилляторе резонанс есть только на частоте, близкой к
собственной, т. е. при Г2 = шо + е. Для нелинейного же есть резонанс и на
гармониках; например, квадратичная нелинейность (ш2 ~ ах) приводит к
появлению в нелинейной системе спектральных компонент 2Г2, 4П и т. д.
Следовательно, если, например, 2Г2 и ш0, то в системе будет резонанс на
гармонике внешней силы.
В общем случае в нелинейном осцилляторе даже при синусоидальном внешнем
воздействии возможны совершенно нетривиальные эффекты - динамика системы
может оказаться чрезвычайно сложной, в том числе и стохастической. Эти
эффекты обнаруживаются лишь при наличии нелинейности. Чтобы их
исследовать, нужно решать задачу численно либо с помощью анализа фазового
пространства. Надо учесть, что фазовое пространство неавтономной системы
с одной степенью свободы уже трехмерное: х, х, t (третьей координатой
является время).
Ограничимся пока рассмотрением системы, близкой к линейному автономному
осциллятору, т. е. будем считать малыми нелинейность, диссипацию и
амплитуду внешней силы. Тогда становится очевидным и выбор метода решения
- это один из асимптотических методов. Исходную модель можно описать
следующим уравнением:
х + u)qX = д,(Лвн cos Ш - ах2 - (Зх3 - 2Хх), д <1. (13.9)
Так как мы хотим исследовать резонанс, будем искать решение на частоте
внешней силы. т. е. в виде х = A(t) sin[f2t + y>(t)]. Считая и>о - П -е.
преобразуем уравнение (13.9) к виду
х + П2х = //.(Авн cos fit - ах2 - (Зх3 - 2Хх + 2eflx).
Используя метод Ван-дер-Поля, получаем укороченные уравнения для
амплитуды и фазы:
^ = iff C0S^ ~ Л'4' А^~ sin<^+ ~еА- (13-10)
Здесь е - линейная расстройка. Резонансная кривая - это зависимость
амплитуды установившихся колебаний от расстройки, т. е. зависимость А(е),
которая получается из (13.10) при условиях А = ф = 0.
286
Глава 13
Эти условия определяют состояние равновесия системы (13.10):
> а _ Авн , З/ЗАц _ Авн •
0_ 212 C°S<Ab ?+ 812 ~ 212А0 Sm<Po'
Отсюда А2 + (7^q - е)2 = AbH/(4122Aq), где 7 = 3/3/(812), и,
следовательно, искомая связь имеет вид
е = 1А20± [(АВН/2А012)2 - X2]1'2. (13.11)
При построении резонансных характеристик на плоскости AqS (рис. 13.10а)
амплитуда внешней силы АВн является параметром. Когда А < AgH,
резонансные кривые представляют собой графики однозначных функций и
напоминают резонансные кривые линейного осциллятора с затуханием.
Максимум у них смещен в сторону больших частот, если собственная частота
осциллятора с ростом амплитуды растет, и в сторону меньших, если
собственная частота убывает. При Авн > AgH резонансная кривая
представляет собой график неоднозначной функции.
а) б)
Рис. 13.10. Резонансные кривые нелинейного осциллятора: а - при
амплитудах Ацн < AgH (Авн - параметр) резонансные кривые соответствуют
графикам однозначных функций и представляют собой несколько
деформированные кривые линейного осциллятора с затуханием (см. рис. 1.9):
б - резонансная кривая при Авн > AgH (крестиками обозначена неустойчивая
ветвь; заштрихована область гистерезиса
Исследование устойчивости состояний равновесия системы (13.10),
соответствующих различным ветвям резонансной кривой (это предоставляется
читателю проделать самостоятельно), показывает, что
13.3. Нелинейный резонанс
287
ветвь, отмеченная на рис. 13.10(1 крестиками, неустойчива. При изменении
расстройки будем иметь следующее: при ? = 0 - точный резонанс по
линейному приближению - амплитуда далеко не максимальна; при увеличении е
амплитуда растет до А0тах; при е = е? скачком происходит срыв колебаний
до существенно меньшей величины. При обратном ходе скачок происходит при
е = ?i; амплитуда при этом возрастает (рис. 13.10б). Значение Д01
соответствует точке касания прямой = ?\ с резонансной кривой Дц = Ац(е),
а Д02 - точке касания прямой Д2 = е с Лр = А%(е). Дифференцируя уравнение
для резонансной кривой
(А" + 72j4q - ^7 еА0 + е2)Д-о - [(-4вн)2/4П2],
для вертикальной касательной находим
dA0/de = [-еДо + lAle2][?2 + А2 - 47еДц + 372Д2]-1 = эс. (13.12)
Значения A0i и Д02 получаются из совместного решения уравнения
е2 + А2 - 47гД2 + 3Т2Д2 = 0 (13.13)
и уравнения (13.12). Приравнивая выражение для производной dA0/ds нулю,
легко найти Дотах = е/Т- Из (13.12) следует, что Дотах = = Двн/(2^А).
Значение ДвН, при котором на резонансной кривой появляется гистерезис,
определяется из условия равенства корней уравнения (13.13). т. е.
обращения в нуль его дискриминанта: 472До~372Д0-- Л2 = 0, откуда Дц =
А2/72. При этом ед = е2 = 2А и из (13.12) следует, что Двн = 8П2А3/7-
Обсудим теперь, к чему приводит нелинейность при параметрическом
